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ｎ／７與一類線性方程
真分?jǐn)?shù)ｎ／７是一個(gè)６位純循環(huán)小數(shù)：
１／７＝０．１·４２８５７·；２／７＝０．２·８５７１４·；３／７＝０．４·２８５７１·；４／７＝０．５·７１４２８·；５／７＝０．７·１４２８５·；６／７＝０．８·５７１４２·．
各分?jǐn)?shù)除數(shù)字排列順序有別外，其數(shù)字組成完全相同．依據(jù)這種結(jié)構(gòu)特征可編排一類線性方程，通過(guò)這類方程解法的研究，可開拓中學(xué)生的思維空間，增強(qiáng)其分析、想象、綜合、歸納等解決實(shí)際問(wèn)題的能力，現(xiàn)提供幾例供參考．
例１有一六位數(shù)，若將后三位數(shù)依次移到前三位，則所得新的六位數(shù)是原六位數(shù)的６倍．求原六位數(shù)．
解：設(shè)原六位數(shù)的前三位數(shù)為ｘ，后三位數(shù)為ｙ，則原六位數(shù)為１０３ｘ＋ｙ，移動(dòng)后的新六位數(shù)為１０３ｙ＋ｘ．故依題意得１０３ｙ＋ｘ＝６×１０３ｘ＋６ｙ，即５９９９ｘ＝９９４ｙ，亦即８５７ｘ＝１４２ｙ．
又因?yàn)椋cｙ皆為三位數(shù)，且ｘ的首位上的數(shù)字小于２，否則其６倍便要進(jìn)位而成為一個(gè)七位數(shù)了，又８５７與１４２互質(zhì)，故ｙ＝８５７，ｘ＝１４２，因而原六位數(shù)是１４２８５７．
例２有一位六位數(shù)，若將后三位數(shù)依次移到前三位，則所得新的六位數(shù)比原六位數(shù)大１３．求原六位數(shù)．
解：設(shè)原六位數(shù)的前三位數(shù)為ｘ，后三位數(shù)為ｙ，則原六位數(shù)為１０３ｘ＋ｙ，新六位數(shù)為１０３ｙ＋ｘ．依題意得４×１０３ｘ＋４ｙ＝３×１０３ｙ＋３ｘ，即３９９７ｘ＝２９９６ｙ；亦即５１７ｘ＝４２８ｙ，故有ｘ＝４２８，ｙ＝５７１，則原六位數(shù)是４２８５７１．
例３有一六位數(shù)，若將首位上的數(shù)字移至末尾，則所得新的六位數(shù)是原數(shù)的３倍，求原數(shù)．
解：設(shè)這個(gè)六位數(shù)的首位上的數(shù)字為ｘ，其余五位數(shù)為ｙ，則原數(shù)就是１０５ｘ＋ｙ，新數(shù)是１０ｙ＋ｘ．依題意可得１０ｙ＋ｘ＝３×１０５ｘ＋３ｙ，就是７ｙ＝２９９９９９ｘ，ｙ＝４２８５７ｘ．顯然，ｘ只可�。被颍�，當(dāng)ｘ≥３時(shí)，ｙ便不是五位數(shù)了．故當(dāng)ｘ＝１時(shí)，ｙ＝４２８５７，原六位數(shù)是１４２８５７；當(dāng)ｘ＝２時(shí)，ｙ＝８５７１４，原六位數(shù)是２８５７１４．
例４有一六位數(shù)，若將首位上的數(shù)字移至末尾，則所得新的六位數(shù)與原六位數(shù)之比為２∶３，求原數(shù)．
解：設(shè)這個(gè)六位數(shù)的首位上的數(shù)字為ｘ，其余的五位數(shù)為ｙ，則原數(shù)就是１０５ｘ＋ｙ，新的六位數(shù)是１０ｙ＋ｘ，依題意可得３０ｙ＋３ｘ＝２×１０５ｘ＋２ｙ，也就是２８ｙ＝１９９９９７ｘ，亦即４ｙ＝２８５７１ｘ．顯然，ｘ只可�。椿颍福�(dāng)ｘ＝４時(shí)，ｙ＝２８５７１，則原數(shù)是４２８５７１；當(dāng)ｘ＝８時(shí)，ｙ＝５７１４２，則原數(shù)是８５７１４２．
例５有一六位數(shù)，若將前兩位數(shù)依次移至末尾，則所得新的六位數(shù)是原數(shù)的２倍，求原數(shù)．
解：設(shè)這個(gè)六位數(shù)的前兩位數(shù)為ｘ，后四位數(shù)為ｙ，則原數(shù)就是１０４ｘ＋ｙ，新的六位數(shù)是１０２ｙ＋ｘ．依題意可得１０２ｙ＋ｘ＝２×１０４ｘ＋２ｙ，也就是９８ｙ＝１９９９９ｘ，亦即１４ｙ＝２８５７ｘ．因１４與２８５７互質(zhì)，故ｘ可�。保�、２８或４２，則對(duì)應(yīng)的ｙ值應(yīng)是２８５７、５７１４、８５７１，故所求的六位數(shù)是１４２８５７、２８５７１４或４２８５７１．
有興趣的讀者不妨再做下列練習(xí)：
（１）有一六位數(shù)，若將末尾的數(shù)字移至首位，則所得新數(shù)是原數(shù)的５倍，求原數(shù)．
（２）有一六位數(shù)，若將末尾的數(shù)字移至首位，則所得新數(shù)與原數(shù)之比為３∶２，求原數(shù)．
（３）有一六位數(shù)，若將末尾的數(shù)字移至首位，則所得新數(shù)是原數(shù)的８０％，求原數(shù)．
（４）有一六位數(shù)，若將末尾的數(shù)字移至首位，則所得新數(shù)是原數(shù)的１３，求原數(shù)．
（５）有一六位數(shù)，若將末尾的數(shù)字移至首位，再將原數(shù)的首位上的數(shù)字移至末尾，前后兩次移動(dòng)所得新數(shù)之比為５∶３，求原數(shù)．
（答案：（１）１４２８５７；（２）２８５７１４或５７１４２８；（３）７１４２８５；（４）４２８５７１或８５７１４２；（５）１４２８５７）