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平面向量的加法教案（通用11篇）
作為一名為他人授業(yè)解惑的教育工作者，通常需要準(zhǔn)備好一份教案，教案是備課向課堂教學(xué)轉(zhuǎn)化的關(guān)節(jié)點。那么應(yīng)當(dāng)如何寫教案呢？以下是小編幫大家整理的平面向量的加法教案，歡迎閱讀，希望大家能夠喜歡。
平面向量的加法教案 篇1
教材：
向量
目的：
要求學(xué)生掌握向量的意義、表示方法以及有關(guān)概念，并能作一個向量與已知向量相等，根據(jù)圖形判定向量是否平行、共線、相等。
過程：
一、開場白：本P93（略）
實例：老鼠由A向西北逃竄，貓在B處向東追去，
問：貓能否追到老鼠？（畫圖）
結(jié)論：貓的速度再快也沒用，因為方向錯了。
二、提出題：平面向量
1．意義：既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度、沖量等
注意：1數(shù)量與向量的區(qū)別：
數(shù)量只有大小，是一個代數(shù)量，可以進(jìn)行代數(shù)運算、比較大小；
向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小。
2從19世紀(jì)末到20世紀(jì)初，向量就成為一套優(yōu)良通性的數(shù)學(xué)體系，用以研究空間性質(zhì)。
2．向量的表示方法：
1幾何表示法：點—射線
有向線段——具有一定方向的線段
有向線段的三要素：起點、方向、長度
記作（注意起訖）
2字母表示法： 可表示為 （印刷時用黑體字）
P95 例 用1cm表示5n mail（海里）
3．模的概念：向量 的大小——長度稱為向量的模。
記作： 模是可以比較大小的
4．兩個特殊的向量：
1零向量——長度（模）為0的向量，記作 。 的方向是任意的。
注意 與0的區(qū)別
2單位向量——長度（模）為1個單位長度的向量叫做單位向量。
例：溫度有零上零下之分，“溫度”是否向量？
答：不是。因為零上零下也只是大小之分。
例： 與 是否同一向量？
答：不是同一向量。
例：有幾個單位向量？單位向量的`大小是否相等？單位向量是否都相等？
答：有無數(shù)個單位向量，單位向量大小相等，單位向量不一定相等。
三、向量間的關(guān)系：
1．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
記作： ∥ ∥
規(guī)定： 與任一向量平行
2．相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
記作： =
規(guī)定： =
任兩相等的非零向量都可用一有向線段表示，與起點無關(guān)。
3．共線向量：任一組平行向量都可移到同一條直線上 ，
所以平行向量也叫共線向量。
例：（P95）略
變式一：與向量長度相等的向量有多少個？（11個）
變式二：是否存在與向量長度相等、方向相反的向量？（存在）
變式三：與向量共線的向量有哪些？
四、小結(jié)：
五、作業(yè)：
P96 練習(xí) 習(xí)題5.1
平面向量的加法教案 篇2
目的：
通過練習(xí)使學(xué)生對實數(shù)與積，兩個向量共線的充要條件，平面向量的基本定理有更深刻的理解，并能用來解決一些簡單的.幾何問題。
過程：
一、復(fù)習(xí)：
1．實數(shù)與向量的積(強(qiáng)調(diào)：“模”與“方向”兩點)
2．三個運算定律（結(jié)合律，第一分配律，第二分配律）
3．向量共線的充要條件
4．平面向量的基本定理（定理的本身及其實質(zhì)）
二、例題
1．當(dāng)λZ時，驗證：λ(+)=λ+λ
證：當(dāng)λ=0時，左邊=0(+)=右邊=0+0=分配律成立
當(dāng)λ為正整數(shù)時，令λ=n,則有：
n(+)=(+)+(+)+…+(+)
=++…+++++…+=n+n
即λ為正整數(shù)時，分配律成立
當(dāng)為負(fù)整數(shù)時，令λ=n（n為正整數(shù)），有：
n(+)=n[(+)]=n[()+()]=n()+n()=n+(n)=nn
分配律仍成立
綜上所述，當(dāng)λ為整數(shù)時，λ(+)=λ+λ恒成立。
2．1kg的重物在兩根細(xì)繩的支持下，處于平衡狀態(tài)（如圖），已知兩細(xì)繩與水平線分別成30,60角，問兩細(xì)繩各受到多大的力？
解：將重力在兩根細(xì)繩方向上分解，兩細(xì)繩間夾角為90
1(kg)P1OP=60P2OP=30
∴cos60=1=0.5(kg)
cos30=1=0.87(kg)
即兩根細(xì)繩上承受的拉力分別為0.5kg和0.87kg。
平面向量的加法教案 篇3
【教學(xué)目標(biāo)】
1．了解平面向量基本定理；
2．理解平面里的任何一個向量都可以用兩個不共線的向量來表示，初步掌握應(yīng)用向量解決實際問題的重要思想方法；
3．能夠在具體問題中適當(dāng)?shù)剡x取基底，使其他向量都能夠用基底來表達(dá).
【導(dǎo)入新課】
復(fù)習(xí)引入：
1．實數(shù)與向量的積
實數(shù)λ與向量的積是一個向量，記作：λ.（1）|λ|=|λ|||；（2）λ>0時，λ與方向相同；λ<0時，λ與方向相反；λ=0時，λ=.
2．運算定律
結(jié)合律：λ(μ)=(λμ)；分配律：(λ+μ)=λ+μ，λ(+)=λ+λ.
3.向量共線定理
向量與非零向量共線的充要條件是：有且只有一個非零實數(shù)λ，使=λ.
新授課階段
一、平面向量基本定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2使=λ1+λ2.
探究：
(1)我們把不共線向量ｅ１、ｅ２叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；
(2)基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；
(3)由定理可將任一向量a在給出基底ｅ１、ｅ２的條件下進(jìn)行分解；
(4)基底給定時，分解形式惟一. λ1，λ2是被，，唯一確定的數(shù)量.
二、平面向量的坐標(biāo)表示
如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，我們分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量、作為基底.任作一個向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)、，使得
…………○1
我們把叫做向量的（直角）坐標(biāo)，記作
…………○2
其中叫做在軸上的坐標(biāo)，叫做在軸上的坐標(biāo)，○2式叫做向量的坐標(biāo)表示.與相等的向量的坐標(biāo)也為.
特別地xxx，xx，xx，xx.
如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以原點O為起點作，則點的位置由唯一確定.
設(shè)，則向量的坐標(biāo)就是點的坐標(biāo)；反過來，點的坐標(biāo)也就是向量的坐標(biāo).因此，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個平面向量都是可以用一對實數(shù)唯一表示.
三、平面向量的坐標(biāo)運算
�。�1）若，，則，.兩個向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差.
設(shè)基底為、，則，即，同理可得.
（2）若，，則.
一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的`終點坐標(biāo)減去始點的坐標(biāo).
=-=( x2，y2) -(x1，y1)= (x2- x1，y2- y1).
�。�3）若和實數(shù)，則.
實數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo).
設(shè)基底為、，則，即.
例1已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，求的坐標(biāo).
例2已知=(2，1)，=(-3，4)，求+，-，3+4的坐標(biāo).
例3已知平面上三點的坐標(biāo)分別為A(-2，1)，B(-1，3)，C(3，4)，求點D的坐標(biāo)使這四點構(gòu)成平行四邊形四個頂點.
解：當(dāng)平行四邊形為ABCD時，由，得D1=(2，2).
當(dāng)平行四邊形為ACDB時，得D2=(4，6)，當(dāng)平行四邊形為DACB時，得D3=(-6，0).
例4已知三個力(3，4)，(2，-5)，(x，y)的合力++=，求的坐標(biāo).
解：由題設(shè)++=，得：(3，4)+ (2，-5)+(x，y)=(0，0)，
即：∴∴(-5，1).
例5已知=(2,1),=(－3,4),求＋，－，3＋4的坐標(biāo).
解：＋＝（2,1）+（-3,4）=(－1，5)，
�。剑�2,1）-（-3,4）=(5，－3)，
3＋4＝3（2,1）+4（-3,4）=（6,3）+（-12,16）=(－6，19).
點評：利用平面向量的坐標(biāo)運算法則直接求解.
例6已知平行四邊形ABCD的三個頂點A、B、C的坐標(biāo)分別為（-2，1）、（-1，3）（3，4），求頂點D的坐標(biāo).
解：設(shè)點D的坐標(biāo)為（x,y）,
即3- x=1,4-y=2.
解得x=2,y=2.
所以頂點D的坐標(biāo)為（2，2）.
另解：由平行四邊形法則可得
例7經(jīng)過點的直線分別交軸、軸于點，且，求點的坐標(biāo).
解：由題設(shè)知，三點共線，且，設(shè)，
�、冱c在之間，則有xxx，∴.
解之得：xxx，點的坐標(biāo)分別為xxx.
�、邳c不在之間，則有，同理，可求得點的坐標(biāo)分別為xx，
.
綜上，點的坐標(biāo)分別為或，.
例8.已知三點，若，試求實數(shù)的取值范圍，使落在第四象限.
解：設(shè)點，由題設(shè)得xxx，
∴，要使落在第四象限，則xx，
解之得.
例8已知向量，問是否存在實數(shù)同時滿足兩個條件：？如果存在，求出的值；如果不存在，請說明理由.
解：假設(shè)滿足條件的實數(shù)存在，則有解之得：
∴滿足條件的實數(shù).
課堂小結(jié)
�。�1）理解平面向量的坐標(biāo)的概念；
�。�2）掌握平面向量的坐標(biāo)運算；
�。�3）會根據(jù)向量的坐標(biāo)，判斷向量是否共線.
作業(yè)
見同步練習(xí)
拓展提升
1.設(shè)是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，不能以下各組向量中作為基底的是（）
A.，B. +，C.，2 D.，+
2.設(shè)是同一平面內(nèi)所有向量的一組基底，則以下各組向量中，不能作為基底的是（）
A. +和- B. 3-2和4-6
C. +2和2+ D. +和
3.已知不共線，=+，=4 +2，并且，共線，則下列各式正確的是（）
A. =1，B. =2，C. =3，D. =4
4.設(shè)=+5，=-2+8，=3-3，那么下列各組的點中三點一定共線的是（）
A. A，B，C B. A，C，D C. A，B，D D.Ｂ，Ｃ，Ｄ
５．下列說法中，正確的是（）
①一個平面內(nèi)只有一對不共線的向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底；②一個平面內(nèi)有無數(shù)多對不共線的向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底；③零向量不可作為基底中的向量.
Ａ．①②Ｂ．①③Ｃ．②③Ｄ①②③
�。叮阎峭黄矫鎯�(nèi)兩個不共線的向量，那么下列兩個結(jié)論中正確的是（）
�、�+（，為實數(shù)）可以表示該平面內(nèi)所有向量；②若有實數(shù)，使+＝，則＝＝０.
�。粒伲拢冢茫佗冢模陨隙疾粚�
�。罚阎粒停健鳎粒拢玫模拢眠吷系闹芯�，若＝，＝，則＝（）
�。粒ǎ拢ǎ�
�。茫ǎ模ǎ�
�。福阎粒拢茫模牛剖钦呅�，＝，＝，則＝（）
�。粒ǎ拢ǎ�
�。茫模ǎ�
�。梗绻�+４＝，２+３＝，其中，為已知向量，則＝，＝.
�。保埃阎峭黄矫鎯�(nèi)兩個不共線的向量，且＝２+ｋ，＝+３，＝２－，如果Ａ，Ｂ，Ｄ三點共線，則ｋ的值為.
�。保保�(dāng)ｋ為何值時，向量＝４+２，＝ｋ＋共線，其中、是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量.
�。保玻阎骸⑹遣还簿�的向量，當(dāng)ｋ為何值時，向量＝ｋ+與＝＋ｋ共線？
平面向量的加法教案 篇4
一、教學(xué)目標(biāo)：
1.知識與技能：
了解平面向量基本定理及其意義, 理解平面里的任何一個向量都可以用兩個不共線的向量來表示；能夠在具體問題中適當(dāng)?shù)剡x取基底,使其他向量都能夠用基底來表示。
2.過程與方法：
讓學(xué)生經(jīng)歷平面向量基本定理的探索與發(fā)現(xiàn)的形成過程,體會由特殊到一般和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，初步掌握應(yīng)用平面向量基本定理分解向量的方法，培養(yǎng)學(xué)生分析問題與解決問題的能力。
3.情感、態(tài)度和價值觀
通過對平面向量基本定理的學(xué)習(xí),激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,調(diào)動學(xué)習(xí)積極性,增強(qiáng)學(xué)生向量的應(yīng)用意識,并培養(yǎng)學(xué)生合作交流的意識及積極探索勇于發(fā)現(xiàn)的學(xué)習(xí)品質(zhì).
二、教學(xué)重點：
平面向量基本定理.
三、教學(xué)難點：
平面向量基本定理的理解與應(yīng)用.
四、教學(xué)方法：
探究發(fā)現(xiàn)、講練結(jié)合
五、授課類型：
新授課
六、教 具：
電子白板、黑板和課件
七、教學(xué)過程：
�。ㄒ唬┣榫骋n，板書課題
由導(dǎo)彈的發(fā)射情境，引出物理中矢量的分解，進(jìn)而探究我們數(shù)學(xué)中的向量是不是也可以沿兩個不同方向的向量進(jìn)行分解呢？
�。ǘ⿵�(fù)習(xí)鋪路，漸進(jìn)新課
在共線向量定理的復(fù)習(xí)中，自然地、漸進(jìn)地融入到平面向量基本定理的師生互動合作的探究與發(fā)現(xiàn)中去，感受著從特殊到一般、分類討論和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想碰撞的火花，體驗著學(xué)習(xí)的`快樂。
�。ㄈw納總結(jié)，形成定理
讓學(xué)生在發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的過程中歸納總結(jié)出平面向量基本定理，并給出基底的定義。
（四）反思定理，解讀要點
反思平面向量基本定理的實質(zhì)即向量分解，思考基底的不共線、不惟一和非零性及實數(shù)對
的存在性和唯一性。
（五）跟蹤練習(xí)，反饋測試
及時跟蹤練習(xí)，反饋測試定理的理解程度。
�。┲v練結(jié)合，鞏固理解
即講即練定理的應(yīng)用，講練結(jié)合，進(jìn)一步鞏固理解平面向量基本定理。
�。ㄆ撸⿰A角概念，順勢得出
不共線向量的不同方向的位置關(guān)系怎么表示，夾角概念順勢得出。然后數(shù)形結(jié)合，講清本質(zhì)：夾角共起點。再結(jié)合例題鞏固加深。
�。ò耍┱n堂小結(jié)，畫龍點睛
回顧本節(jié)的學(xué)習(xí)過程，小結(jié)學(xué)習(xí)要點及數(shù)學(xué)思想方法，老師的“教 ”與學(xué)生的“學(xué)”渾然一體，一氣呵成。
（九）作業(yè)布置，回味思考。
布置課后作業(yè)，檢驗教學(xué)效果�；匚端伎迹永斫舛ɡ淼膶嵸|(zhì)。
七、板書設(shè)計：
1.平面向量基本定理：如果
是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量 ，有且只有一對實數(shù)
2.基底：
(1) 不共線向量
叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；
(2) 基底：不共線，不唯一，非零
(3) 基底給定，分解形式唯一，實數(shù)對
存在且唯一；
(4) 基底不同，分解形式不唯一，實數(shù)對
可同可異。
例1 例2
3.夾角：
�。�1）兩向量共起點；
�。�2）夾角范圍：
例3
4.小結(jié)
5.作業(yè)
平面向量的加法教案 篇5
一．復(fù)習(xí)目標(biāo)：
1．了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐標(biāo)概念，會用坐標(biāo)形式進(jìn)行向量的加法、減法、數(shù)乘的運算，掌握向量坐標(biāo)形式的平行的條；
2．學(xué)會使用分類討論、函數(shù)與方程思想解決有關(guān)問題。
二．主要知識：
1．平面向量坐標(biāo)的概念；
2．用向量的`坐標(biāo)表示向量加法、減法、數(shù)乘運算和平行等等；
3．會利用向量坐標(biāo)的定義求向量的坐標(biāo)或點的坐標(biāo)及動點的軌跡問題．
三．前預(yù)習(xí)：
1.若向量 ,則 （ ）
2．設(shè) 四點坐標(biāo)依次是 ，則四邊形 為 （ ）
正方形 矩形 菱形 平行四邊形
3．下列各組向量，共線的是 （ ）
4.已知點 ,且有 ,則 。
5．已知點 和向量 = ,若 =3 ,則點B的坐標(biāo)為 。
6.設(shè) ,且有 ,則銳角 。
四．例題分析：
例1．已知向量 ， ，且 ，求實數(shù) 的值。
小結(jié)：
例2．已知 ，
（1）求 ；（2）當(dāng) 為何實數(shù)時， 與 平行， 平行時它們是同向還是反向？
小結(jié)：
例3．已知點 ,試用向量方法求直線 和 （ 為坐標(biāo)原點）交點 的坐標(biāo)。
小結(jié)：
例4．已知點 及 ,試問：
�。�1）當(dāng) 為何值時, 在 軸上? 在 軸上? 在第三象限?
�。�2）四邊形 是否能成為平行四邊形?若能,則求出 的值.若不能,說明理由。
小結(jié)：
五．后作業(yè)：
1． 且 ，則銳角 為 ( )
2．已知平面上直線 的方向向量 ，點 和 在 上的射影分別是 和 ，則 ，其中 （ ）
3．已知向量 且 ，則 = ( )
4．在三角形 中，已知 ，點 在中線 上，且 ，則點 的坐標(biāo)是 ( )
5．平面內(nèi)有三點 ，且 ∥ ，則 的值是 （ ）
6．三點 共線的充要條是 （ ）
7．如果 , 是平面 內(nèi)所有向量的一組基底，那么下列命題中正確的是 （ ）
若實數(shù) 使 ，則
空間任一向量 可以表示為 ，這里 是實數(shù)
對實數(shù) ，向量 不一定在平面 內(nèi)
對平面內(nèi)任一向量 ，使 的實數(shù) 有無數(shù)對
8．已知向量 ， 與 方向相反，且 ，那么向量 的坐標(biāo)是_ ____.
9．已知 ，則與 平行的單位向量的坐標(biāo)為 。
10．已知 ，求 ，并以 為基底表示 。
11.向量 ,當(dāng) 為何值時， 三點共線？
12．已知平行四邊形 中，點 的坐標(biāo)分別是 ，點 在橢圓 上移動，求 點的軌跡方程.
平面向量的加法教案 篇6
設(shè)計立意及思路
向量具有代數(shù)與幾何形式的雙重身份，故它是聯(lián)系多項知識的媒介，成為中學(xué)數(shù)學(xué)知識的一個交匯點，數(shù)學(xué)高考重視能力立意，在知識網(wǎng)絡(luò)的交匯點上設(shè)計試題，因此，解析幾何與平面向量的融合交匯是新課程高考命題改革的發(fā)展方向和創(chuàng)新的必然趨勢。而學(xué)生普遍感到不適應(yīng)，因此，我們在解析幾何復(fù)習(xí)時應(yīng)適時融合平面向量的基礎(chǔ)，滲透平面向量的基本方法。本專題就以下兩方面對平面向量與圓錐曲線交匯綜合的'問題進(jìn)行復(fù)習(xí);1、以向量為載體，求軌跡方程為命題切入點，綜合考查學(xué)生平面向量的加法與減法及其幾何意義，平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，圓錐曲線的定義。2、以向量作為工具考查圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，直線與圓錐曲線位置關(guān)系，曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。
高考考點回顧
近三年來平面向量與圓錐曲線交匯命題可以說經(jīng)歷了三個階段：2002年天津卷21道只是數(shù)學(xué)符號上的混合;2003年江蘇卷20道用平面向量的語言描述解析幾何元素的關(guān)系，可謂是知識點層面上整合;2004年有6份卷(分別是全國卷理科(必修+選修I)21道;全國卷理科(選修Ⅱ)21道;遼寧19道;湖南文21道;江蘇卷21道;天津卷22道)涉及平面向量與圓錐曲線交匯綜合，可以說是應(yīng)用層面上綜合。就應(yīng)用層面上又有兩個層次。第一層次：考查學(xué)生對平面向量的概念、加減運算、坐標(biāo)表示、數(shù)量積等基本概念、運算的掌握情況. 第二層次：考查學(xué)生對平面向量知識的簡單運用，如平面向量共線定理、定比分點、加減運算幾何意義(這三點已有所涉及)、數(shù)量積幾何意義、射影定理(這兩點挖掘不夠，本專題著重講述見例1變式)�？疾閷W(xué)生把向量作為工具的運用能力.這一層次的問題有一定的難度，而且是未來幾年平面向量高考題的一個走向.
基礎(chǔ)知識梳理
1.向量的概念、向量的幾何表示、向量的加法和減法;
2. 實數(shù)與向量的積、兩個向量共線的充要條件、向量的坐標(biāo)運算;
3. 平面向量的數(shù)量積及其幾何意義、平面兩點間的距離公式、線段定比分點人坐標(biāo)公式和向量的平衡移公式;
4. 橢圓、雙曲線、拋物線的定義及簡單幾何性質(zhì)的靈活運用;
5.曲線方程(含指定圓錐曲線方程及軌跡方程);
6. 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題(交點、弦長、中點弦與斜率、對稱問題)確定參數(shù)的取值范圍;
7. 平面向量作為工具綜合處理有關(guān)長度、角度、垂直、射影等問題以及圓錐曲線中的典型問題。
例題講解
一、減少運算量，提高思維量 是未來幾年高考的一個方向，高考中對求軌跡的方程傾向于利用適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化再用定義法，以利于減少運算量，提高思維量。而圓錐曲線的兩種定義均可用向量的模及數(shù)量積幾何意義、射影定理來表示，無疑為平面向量與圓錐曲線交匯命題開拓了廣闊的空間。在以向量為載體，求軌跡方程為命題切入點，可以綜合考查學(xué)生平面向量的加法與減法及其幾何意義，平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，圓錐曲線的定義。
平面向量的加法教案 篇7
教學(xué)目標(biāo)：
1、掌握向量的加法運算，并理解其幾何意義;
2、會用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個向量的和向量，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合解決問題的能力;
3、通過將向量運算與熟悉的數(shù)的運算進(jìn)行類比，使學(xué)生掌握向量加法運算的交換律和結(jié)合律，并會用它們進(jìn)行向量計算，滲透類比的數(shù)學(xué)方法;
教學(xué)重點：
會用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個向量的和向量.教學(xué)難點：理解向量加法的定義.
學(xué)法：
數(shù)能進(jìn)行運算，向量是否也能進(jìn)行運算呢?數(shù)的加法啟發(fā)我們，從運算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成來理解向量的加法，讓學(xué)生順理成章接受向量的加法定義.結(jié)合圖形掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則.聯(lián)系數(shù)的運算律理解和掌握向量加法運算的交換律和結(jié)合律.
教具：
多媒體或?qū)嵨锿队皟x，尺規(guī)
授課類型：
新授課
教學(xué)思路：
一、設(shè)置情景：
1、復(fù)習(xí)：向量的定義以及有關(guān)概念
強(qiáng)調(diào)：向量是既有大小又有方向的量.長度相等、方向相同的向量相等.因此，我們研究的向量是與起點無關(guān)的'自由向量，即任何向量可以在不改變它的方向和大小的前提下，移到任何位置
2、情景設(shè)置：
(1)某人從A到B，再從B按原方向到C，
則兩次的位移和：AB?BC?AC
(2)若上題改為從A到B，再從B按反方向到C，
則兩次的位移和：AB?BC?AC
(3)某車從A到B，再從B改變方向到C，
則兩次的位移和：AB?BC?AC AB
C
(4)船速為AB，水速為BC，則兩速度和：AB?BC?AC
二、探索研究：
1、向量的加法：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法. A B C AB C
平面向量的加法教案 篇8
教材分析
1．本課的地位及作用：
平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，就是運用坐標(biāo)這一量化工具表達(dá)向量的數(shù)量積運算，為研究平面中的距離、垂直、角度等問題提供了全新的手段。它把向量的數(shù)量積與坐標(biāo)運算兩個知識點緊密聯(lián)系起來，是全章重點之一。
2學(xué)生情況分析：
在此之前學(xué)生已學(xué)習(xí)了平面向量的坐標(biāo)表示和平面向量數(shù)量積概念及運算，但數(shù)量積是用長度和夾角這兩個概念來表示的，應(yīng)用起來不太方便，如何用坐標(biāo)這一最基本、最常用的工具來表示數(shù)量積，使之應(yīng)用更方便，就是擺在學(xué)生面前的一個亟待解決的問題。因此，本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)是學(xué)生認(rèn)知發(fā)展和知識構(gòu)建的一個合情、合理的“生長點”。所以，本節(jié)課采取以學(xué)生自主完成為主，教師查漏補(bǔ)缺的教學(xué)方法。因此結(jié)合中學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)特點和學(xué)生實際。
三維目標(biāo)
1、知識與技能：
掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運算；能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的`垂直關(guān)系。
2、過程與方法：
通過用坐標(biāo)表示平面向量數(shù)量積的有關(guān)運算，揭示幾何圖形與代數(shù)運算之間的內(nèi)在聯(lián)系，明確數(shù)學(xué)是研究數(shù)與形有機(jī)結(jié)合的學(xué)科。
3、情感態(tài)度與價值觀：
能用所學(xué)知識解決有關(guān)綜合問題。
1.通過探究平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運算,掌握兩個向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示方法.
2.掌握兩個向量垂直的坐標(biāo)條件以及能運用兩個向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示解決有關(guān)長度、角度、垂直等幾何問題.
3.通過平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示,進(jìn)一步加深學(xué)生對平面向量數(shù)量積的認(rèn)識,提高學(xué)生的運算速度,培養(yǎng)學(xué)生的運算能力,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì).
重點難點
教學(xué)重點:平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示.
教學(xué)難點:向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示的應(yīng)用.
課時安排
1課時
教學(xué)方法和手段
1教學(xué)方法：
結(jié)合本節(jié)教材淺顯易懂，又有前面平面向量的數(shù)量積和向量的坐標(biāo)表示等知識作鋪墊的內(nèi)容特點，兼顧高一學(xué)生已具備一定的數(shù)學(xué)思維能力和處理向量問題的方法的現(xiàn)狀，我主要采用“誘思探究教學(xué)法”，其核心是“誘導(dǎo)思維，探索研究”，其教學(xué)思想是“教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體，訓(xùn)練為主線的原則，為此，我通過精心設(shè)置的一個個問題，激發(fā)學(xué)生的求知欲，積極的鼓勵學(xué)生的參與，給學(xué)生獨立思考的空間，鼓勵學(xué)生自主探索，最終在教師的指導(dǎo)下去探索發(fā)現(xiàn)問題，解決問題。在教學(xué)中，我適時的對學(xué)生學(xué)習(xí)過程給予評價，適當(dāng)?shù)脑u價，可以培養(yǎng)學(xué)生的自信心，合作交流的意識，更進(jìn)一步地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓他們體驗成功的喜悅。
2教學(xué)手段：
利用多媒體輔助教學(xué)，可以加大一堂課的信息容量，極大提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。
學(xué)法指導(dǎo)
改善學(xué)生的學(xué)習(xí)方式是高中數(shù)學(xué)課程追求的基本理念。獨立思考，自主探索，動手實踐，合作交流等都是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式，這些方式有助于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)主觀能動性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”的過程。以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)新潛能，幫助學(xué)生養(yǎng)成獨立思考，積極探索的習(xí)慣。為了實現(xiàn)這一目標(biāo)，本節(jié)教學(xué)讓學(xué)生主動參與，讓學(xué)生動手，動口、動腦。通過思考、計算、歸納、推理，鼓勵學(xué)生多向思維，積極活動，勇于探索。具體體現(xiàn)在：
1、通過提出問題，把問題的求解與探究貫穿整堂課，使學(xué)生在自主探究中發(fā)現(xiàn)了結(jié)論，推廣了命題，使學(xué)生感到成果是自己得到的，增強(qiáng)了成就感，培養(yǎng)了學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的信心和良好的學(xué)習(xí)動機(jī)。
2、通過數(shù)與形的充分挖掘，通過對向量平行與垂直條件的坐標(biāo)表示的類比，培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，教給了學(xué)生類比聯(lián)想的記憶方法。
平面向量的加法教案 篇9
教學(xué)目標(biāo)：
（1）知識目標(biāo)
通過與平面向量類比學(xué)習(xí)并掌握空間向量加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積運算的坐標(biāo)表示以及向量的長度、夾角公式的坐標(biāo)表示，并能初步應(yīng)用這些知識解決簡單的立體幾何問題.
�。�2）能力目標(biāo)
�、偻ㄟ^將空間向量運算與熟悉的平面向量的運算進(jìn)行類比，使學(xué)生掌握空間向量運算的坐標(biāo)表示，滲透類比的數(shù)學(xué)方法；
②會用空間向量運算的坐標(biāo)表示解決簡單的立體幾何問題，體會向量方法在研究空間圖形中的作用，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和幾何直觀能力.
教學(xué)重點：
空間向量運算的坐標(biāo)表示
教學(xué)難點：
空間向量運算的坐標(biāo)表示的應(yīng)用
教學(xué)方法：
啟發(fā)誘導(dǎo)、練講結(jié)合
教學(xué)用具：
多媒體、三角板
教學(xué)過程：
一、復(fù)習(xí)引入：平面向量的坐標(biāo)運算：
思考：你能由平面向量的坐標(biāo)運算類比得到空間向量的坐標(biāo)運算嗎？它們是否成立？為什么？
二、新授：
�。ㄒ唬┛臻g向量的正交分解
（1）單位正交基底：i,j,k是空間三個方向的單位向量，而且兩兩垂直，則{i,j,k}就叫做單位正交基底。
（2）空間向量的基本定理：如果三個向量a,b,c不共面,那么對空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組{i,j,k}，使得p= xi+yj+zk
�。ǘ┛臻g向量運算的坐標(biāo)表示：
（二）應(yīng)用舉例
例1已知向量 ，若 ，則 ______；
若 則 ______.
答案：
�。�2）；
例2．如圖，在正方體中，點分別是的一個四等分點，求直線與所成角的余弦值.
解：略
練習(xí)：如圖，棱長為1的'正方體中，點是的中點，求與所成的角的余弦值.
思考：你能總結(jié)出利用空間向量的坐標(biāo)運算解決簡單立體幾何問題的一般步驟嗎？
（1）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，并求出相關(guān)點的坐標(biāo).（建系求點）
�。�2）將空間圖形中的元素關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系表示.（構(gòu)造向量并坐標(biāo)化）
�。�3）經(jīng)過向量運算確定幾何關(guān)系，解決幾何問題.（向量運算、幾何結(jié)論）
練習(xí)：
探究：
三、課堂總結(jié)：
1.知識
�。�1）空間向量的坐標(biāo)運算；
�。�2）利用空間向量運算的坐標(biāo)表示解決簡單的立體幾何問題.
2.方法
�。�1）類比
�。�2）數(shù)形結(jié)合
四、作業(yè)布置：
課本P98：
習(xí)題3.1 A組 T5---T10（必做） T11（選做）
五、教后記（教學(xué)反饋及反思）：
平面向量的加法教案 篇10
教學(xué)目標(biāo)：
1.了解向量的實際背景，理解平面向量的概念和向量的幾何表示;掌握向量的模、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量等概念;并會區(qū)分平行向量、相等向量和共線向量.
2.通過對向量的學(xué)習(xí)，使學(xué)生初步認(rèn)識現(xiàn)實生活中的向量和數(shù)量的本質(zhì)區(qū)別.
3.通過學(xué)生對向量與數(shù)量的識別能力的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)識客觀事物的數(shù)學(xué)本質(zhì)的能力.教學(xué)重點：理解并掌握向量、零向量、單位向量、相等向量、共線向量的概念，會表示向量.教學(xué)難點：平行向量、相等向量和共線向量的區(qū)別和聯(lián)系.
學(xué)法：本節(jié)是本章的入門課，概念較多，但難度不大.學(xué)生可根據(jù)在原有的位移、力等物理概念來學(xué)習(xí)向量的概念，結(jié)合圖形實物區(qū)分平行向量、相等向量、共線向量等概念.教具：多媒體或?qū)嵨锿队皟x，尺規(guī)
授課類型：
新授課
教學(xué)思路：
一、情景設(shè)置：
如圖，老鼠由A向西北逃竄，貓在B處向東追去，設(shè)問：貓能否追到老鼠?
結(jié)論：貓的速度再快也沒用，因為方向錯了
分析：老鼠逃竄的路線AC、貓追逐的路線BD實際上都是有方向、C B D有長短的量
引言：請同學(xué)指出哪些量既有大小又有方向?哪些量只有大小沒有方向?
二、新課學(xué)習(xí)：
(一)向量的概念：我們把既有大小又有方向的量叫向量
(二)請同學(xué)閱讀課本后回答：(可制作成幻燈片)
1、數(shù)量與向量有何區(qū)別?
2、如何表示向量?
3、有向線段和線段有何區(qū)別和聯(lián)系?分別可以表示向量的什么?
4、長度為零的向量叫什么向量?長度為1的向量叫什么向量?
5、滿足什么條件的兩個向量是相等向量?單位向量是相等向量嗎?
6、有一組向量，它們的`方向相同或相反，這組向量有什么關(guān)系?
7、如果把一組平行向量的起點全部移到一點O，這是它們是不是平行向量?這時各向量的終點之間有什么關(guān)系?
(三)探究學(xué)習(xí)
1、數(shù)量與向量的區(qū)別：
數(shù)量只有大小，是一個代數(shù)量，可以進(jìn)行代數(shù)運算、比較大小;
向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小.
2.向量的表示方法：
�、儆糜邢蚓�段表示;
�、谟米帜竌、b
(黑體，印刷用)等表示; ③用有向線段的起點與終點字母：AB; ④向量AB的大小――長度稱為向量的模，記作|AB|.
3.有向線段：具有方向的線段就叫做有向線段，三個要素：起點、方向、長度.
向量與有向線段的區(qū)別：
(1)向量只有大小和方向兩個要素，與起點無關(guān)，只要大小和方向相同，則這兩個向量就是相同的向量;
(2)有向線段有起點、大小和方向三個要素，起點不同，盡管大小和方向相同，也是不同的有向線段.
4、零向量、單位向量概念：
�、匍L度為0的向量叫零向量，記作0. 0的方向是任意的
注意0與0的含義與書寫區(qū)別.
�、陂L度為1個單位長度的向量，叫單位向量. a A(起點) B (終點)
說明：零向量、單位向量的定義都只是限制了大小.
5、平行向量定義：
�、俜较蛳嗤蛳喾吹姆橇阆蛄拷衅叫邢蛄�;②我們規(guī)定0與任一向量平行.
說明：(1)綜合①、②才是平行向量的完整定義;(2)向量a、b、c平行，記作a∥b∥c.
6、相等向量定義：
長度相等且方向相同的向量叫相等向量.
說明：(1)向量a與b相等，記作a=b;(2)零向量與零向量相等;
(3)任意兩個相等的非零向量，都可用同一條有向線段來表示，并且與有..
向線段的起點無關(guān)。
7、共線向量與平行向量關(guān)系：
平行向量就是共線向量，這是因為任一組平行向量都可移到同一直線上(與有向線段的。起點無關(guān))。
說明：(1)平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系;
(2)共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系.
(四)理解和鞏固：
例1書本86頁例1.
例2判斷：
(1)平行向量是否一定方向相同?(不一定)
(2)不相等的向量是否一定不平行?(不一定)
(3)與零向量相等的向量必定是什么向量?(零向量)
(4)與任意向量都平行的向量是什么向量?(零向量)
(5)若兩個向量在同一直線上，則這兩個向量一定是什么向量?(平行向量)
(6)兩個非零向量相等的當(dāng)且僅當(dāng)什么?(長度相等且方向相同)
(7)共線向量一定在同一直線上嗎?(不一定)
例3下列命題正確的是( )
A.a與b共線，b與c共線，則a與c也共線
B.任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一平行四邊形
的四頂點
C.向量a與b不共線，則a與b都是非零向量
D.有相同起點的兩個非零向量不平行
解：由于零向量與任一向量都共線，所以A不正確;由于數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，所以兩個相等的非零向量可以在同一直線上，而此時就構(gòu)不成四邊形，根本不可能是一個平行四邊形的四個頂點，所以B不正確;向量的平行只要方向相同或相反即可，與起點是否相同無關(guān)，所以D不正確;對于C，其條件以否定形式給出，所以可從其逆否命題來入手考慮，假若a與b不都是非零向量，即a與b至少有一個是零向量，
而由零向量與任一向量都
共線，可有a與b共線，不符合已知條件，所以有a與b都是非零向量，所以應(yīng)選C.例4如圖，設(shè)O是正六邊形ABCDEF的中心，分別寫出圖中與向量OA、OB、OC相等的向量.
變式一：與向量長度相等的向量有多少個?(11個)
變式二：是否存在與向量長度相等、方向相反的向量?(存在)變式三：與向量共線的向量有哪些?(CB,DO,FE)
課堂練習(xí)：
1.判斷下列命題是否正確，若不正確，請簡述理由. ①向量AB與CD是共線向量，則A、B、C、D四點必在一直線上;
②單位向量都相等;
�、廴我幌蛄颗c它的相反向量不相等;
④四邊形ABCD是平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)AB=DC
�、菀粋�向量方向不確定當(dāng)且僅當(dāng)模為0;
�、薰簿�的向量，若起點不同，則終點一定不同.
解：①不正確.共線向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求兩個向量AB、AC在同一直線上.
�、诓徽_.單位向量模均相等且為1，但方向并不確定.
�、鄄徽_.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量與零向量是相等的④、⑤正確.⑥不正確.如圖AC與BC共線，雖起點不同，但其終點卻相
2.書本88頁練習(xí)
三、小結(jié)：
1、描述向量的兩個指標(biāo)：模和方向.
2、平行向量不是平面幾何中的平行線段的簡單類比.
3、向量的圖示，要標(biāo)上箭頭和始點、終點.
四、課后作業(yè)：
書本88頁習(xí)題2.1第3、5題
平面向量的加法教案 篇11
一、教學(xué)分析
向量減法運算是加法的逆運算.學(xué)生在理解相反向量的基礎(chǔ)上結(jié)合向量的加法運算掌握向量的減法運算.因此,類比數(shù)的減法(減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)),首先引進(jìn)相反向量的概念,然后引入向量的減法(減去一個向量,等于加上這個向量的相反向量),通過向量減法的三角形法則和平行四邊形法則,結(jié)合一定數(shù)量的例題,深刻理解向量的減法運算.通過闡述向量的減法運算,可以轉(zhuǎn)化為向量加法運算,滲透化歸的數(shù)學(xué)思想,使學(xué)生理解事物之間的相互轉(zhuǎn)化、相互聯(lián)系的辨證思想,同時由于向量的運算能反映出一些物理規(guī)律,從而加強(qiáng)了數(shù)學(xué)學(xué)科與物理學(xué)科之間的聯(lián)系,提高學(xué)生的應(yīng)用意識.
二、教學(xué)目標(biāo)：
1、知識與技能：
了解相反向量的概念；掌握向量的減法，會作兩個向量的減向量，并理解其幾何意義。
2、過程與方法：
通過將向量運算與熟悉的數(shù)的運算進(jìn)行類比，使學(xué)生掌握向量減法運算及其幾何意義，并會用它們進(jìn)行向量計算，滲透類比的數(shù)學(xué)方法。
3、情感態(tài)度與價值觀：
通過闡述向量的減法運算可以轉(zhuǎn)化成向量的加法運算，使學(xué)生理解事物之間可以相互轉(zhuǎn)化的辯證思想。
三、重點難點
教學(xué)重點:向量的減法運算及其幾何意義.
教學(xué)難點:對向量減法定義的理解.
四、學(xué)法指導(dǎo)
減法運算是加法運算的逆運算，學(xué)生在理解相反向量的基礎(chǔ)上結(jié)合向量的加法運算掌握向量的減法運算；并利用三角形做出減向量。
五、教學(xué)設(shè)想
�。ㄒ唬⿲�(dǎo)入新課
思路1.(問題導(dǎo)入)上節(jié)課,我們定義了向量的加法概念,并給出了求作和向量的兩種方法.由向量的加法運算自然聯(lián)想到向量的減法運算:減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù).向量的減法是否也有類似的法則呢引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探究,由此展開新課.
思路2.(直接導(dǎo)入)數(shù)的減法運算是加法運算的逆運算.本節(jié)課,我們繼續(xù)學(xué)習(xí)向量加法的逆運算——減法.引導(dǎo)學(xué)生去探究、發(fā)現(xiàn).
�。ǘ┩七M(jìn)新課、新知探究、提出問題
�、傧蛄渴欠裼袦p法？
�、谙蛄窟M(jìn)行減法運算,必須先引進(jìn)一個什么樣的新概念？
③如何理解向量的減法？
�、芟蛄康募臃ㄟ\算有平行四邊形法則和三角形法則,那么,向量的減法是否也有類似的法則？
活動:數(shù)的減法運算是數(shù)的加法運算的逆運算,數(shù)的減法定義即減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù),因此定義數(shù)的減法運算,必須先引進(jìn)一個相反數(shù)的概念.類似地,向量的減法運算也可定義為向量加法運算的逆運算.可類比數(shù)的減法運算,我們定義向量的減法運算,也應(yīng)引進(jìn)一個新的概念,這個概念又該如何定義
引導(dǎo)學(xué)生思考,相反向量有哪些性質(zhì)
由于方向反轉(zhuǎn)兩次仍回到原來的方向,因此a和-a互為相反向量.
于是-(-a)=a.
我們規(guī)定,零向量的相反向量仍是零向量.
任一向量與其相反向量的和是零向量,即a+(-a)=(-a)+a=0.
所以,如果a、b是互為相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.
(1)平行四邊形法則
圖1
如圖1,設(shè)向量=b,=a,則=-b,由向量減法的定義,知=a+(-b)=a-b.
又b+=a,所以=a-b.
由此,我們得到a-b的作圖方法.
圖2
(2)三角形法則
如圖2,已知a、b,在平面內(nèi)任取一點O,作=a,=b,則=a-b,即a-b可以表示為從b的終點指向a的終點的向量,這是向量減法的幾何意義.
討論結(jié)果:①向量也有減法運算.
�、诙x向量減法運算之前,應(yīng)先引進(jìn)相反向量.
與數(shù)x的相反數(shù)是-x類似,我們規(guī)定,與a長度相等,方向相反的量,叫做a的相反向量,記作-a.
�、巯蛄繙p法的定義.我們定義
a-b=a+(-b),
即減去一個向量相當(dāng)于加上這個向量的相反向量.
規(guī)定:零向量的相反向量是零向量.
�、芟蛄康臏p法運算也有平行四邊形法則和三角形法則,這也正是向量的運算的幾何意義所在,是數(shù)形結(jié)合思想的重要體現(xiàn).
提出問題
�、偕蠄D中,如果從a的終點到b的終點作向量,那么所得向量是什么
�、诟淖兩蠄D中向量a、b的方向使a∥b,怎樣作出a-b呢
討論結(jié)果:①=b-a.
②略.
�。ㄈ⿷�(yīng)用示例
如圖3(1),已知向量a、b、c、d,求作向量a-b,c-d.
圖3
活動:教師讓學(xué)生親自動手操作,引導(dǎo)學(xué)生注意規(guī)范操作,為以后解題打下良好基礎(chǔ);點撥學(xué)生根據(jù)向量減法的三角形法則,需要選點平移作出兩個同起點的向量.
作法:如圖3(2),在平面內(nèi)任取一點O,作=a,=b,=c,=d.則=a-b,=c-d.
變式訓(xùn)練
(2006上海高考) 在ABCD中,下列結(jié)論中錯誤的是( )
A.=B.AD+=C.-AD=BDD.AD+=0
分析:A顯然正確,由平行四邊形法則可知B正確,C中,-=錯誤,D中,+=+=0正確.
答案:C
例2 如圖4,ABCD中, =a,=b,你能用a、b表示向量、嗎
圖4
活動:本例是用兩個向量表示幾何圖形中的其他向量,這是用向量證明幾何問題的基礎(chǔ).要多注意這方面的訓(xùn)練,特別要掌握用向量表示平行四邊形的四條邊與兩條對角線的'關(guān)系.
解:由向量加法的平行四邊形法則,我們知道=a+b,
同樣,由向量的減法,知=-=a-b.
變式訓(xùn)練
1.(2005高考模擬) 已知一點O到ABCD的3個頂點A、B、C的向量分別是a、b、c,則向量等于( )
A.a+b+cB.a-b+cC.a+b-cD.a-b-c
圖5
解析:如圖5,點O到平行四邊形的三個頂點A、B、C的向量分別是a、b、c,
結(jié)合圖形有=+=+=+-=a-b+c.
答案:B
2.若=a+b,=a-b.
①當(dāng)a、b滿足什么條件時,a+b與a-b垂直？
�、诋�(dāng)a、b滿足什么條件時,|a+b|=|a-b|？
�、郛�(dāng)a、b滿足什么條件時,a+b平分a與b所夾的角？
�、躠+b與a-b可能是相等向量嗎？
圖6
解析:如圖6,用向量構(gòu)建平行四邊形,其中向量、恰為平行四邊形的對角線.
由平行四邊形法則,得
=a+b,=-=a-b.
由此問題就可轉(zhuǎn)換為:
�、佼�(dāng)邊AB、AD滿足什么條件時,對角線互相垂直？(|a|=|b|)
�、诋�(dāng)邊AB、AD滿足什么條件時,對角線相等？(a、b互相垂直)
�、郛�(dāng)邊AB、AD滿足什么條件時,對角線平分內(nèi)角？(a、b相等)
④a+b與a-b可能是相等向量嗎？(不可能,因為對角線方向不同)
點評:靈活的構(gòu)想,獨特巧妙,數(shù)形結(jié)合思想得到充分體現(xiàn).由此我們可以想到在解決向量問題時,可以利用向量的幾何意義構(gòu)造幾何圖形,轉(zhuǎn)化為平面幾何問題,這就是數(shù)形結(jié)合解題的威力與魅力,教師引導(dǎo)學(xué)生注意領(lǐng)悟.
例3 判斷題:
(1)若非零向量a與b的方向相同或相反,則a+b的方向必與a、b之一的方向相同.
(2)△ABC中,必有++=0.
(3)若++=0,則A、B、C三點是一個三角形的三頂點.
(4)|a+b|≥|a-b|.
活動:根據(jù)向量的加、減法及其幾何意義.
解:(1)a與b方向相同,則a+b的方向與a和b方向都相同;
若a與b方向相反,則有可能a與b互為相反向量,
此時a+b=0的方向不確定,說與a、b之一方向相同不妥.
(2)由向量加法法則+=,與CA是互為相反向量,所以有上述結(jié)論.
(3)因為當(dāng)A、B、C三點共線時也有++=0,而此時構(gòu)不成三角形.
(4)當(dāng)a與b不共線時,|a+b|與|a-b|分別表示以a和b為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長,其大小不定.
當(dāng)a、b為非零向量共線時,同向則有|a+b|>|a-b|,異向則有|a+b|<|a-b|;
當(dāng)a、b中有零向量時,|a+b|=|a-b|.
綜上所述,只有(2)正確.
例4 若||=8,||=5,則||的取值范圍是( )
A.[3,8]B.(3,8)C.[3,13]D.(3,13)
解析:=-.
(1)當(dāng)、同向時,||=8-5=3;
(2)當(dāng)、反向時,||=8+5=13;
(3)當(dāng)、不共線時,3<||<13.
綜上,可知3≤||≤13.
答案:C
點評:此題可直接應(yīng)用重要性質(zhì)||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|求解.
變式訓(xùn)練
已知a、b、c是三個非零向量,且兩兩不共線,順次將它們的終點和始點相連接而成一三角形的充要條件為a+b+c=0.
證明:已知a≠0,b≠0,c≠0,且ab,bc,ca,
(1)必要性:作=a,=b,則由假設(shè)=c,
另一方面a+b=+=.
由于與是一對相反向量,
∴有+=0,
故有a+b+c=0.
(2)充分性:作=a,=b,則=a+b,又由條件a+b+c=0,
∴+c=0.等式兩邊同加,得++c=+0.
∴c=,故順次將向量a、b、c的終點和始點相連接成一三角形.
�。ㄋ模┱n堂小結(jié)
1.先由學(xué)生回顧本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識:相反向量,向量減法的定義,向量減法的幾何意義,向量差的作圖.
2.教師與學(xué)生一起總結(jié)本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)方法,類比,數(shù)形結(jié)合,幾何作圖,分類討論.
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