往復(fù)曲線運(yùn)動(dòng)中自然坐標(biāo)系的應(yīng)用

　　往復(fù)曲線運(yùn)動(dòng)中自然坐標(biāo)系的應(yīng)用

　　嚴(yán)非男，陳俊，皇甫泉生

　�。ㄉ虾＠砉ご髮W(xué)理學(xué)院，上海200093）

　　摘要：本文分析了往復(fù)曲線運(yùn)動(dòng)（以單擺為例）中自然坐標(biāo)系單位矢量正方向的選取，給出了弧坐標(biāo)的定義，使單擺小球的切向動(dòng)力學(xué)方程得到了統(tǒng)一的表示，并使角位移θ與弧坐標(biāo)s的正負(fù)規(guī)定相一致，解決了學(xué)生學(xué)習(xí)中的困惑。

　　關(guān)鍵詞：自然坐標(biāo)系；單位矢量；單擺

　　多年來(lái)，對(duì)于自然坐標(biāo)系中單位矢量的規(guī)定，人們不斷探討，提出了各種規(guī)則[1-3]，在不同場(chǎng)合的應(yīng)用中各有利弊[4-6]。往復(fù)曲線運(yùn)動(dòng)，是理工科高校大學(xué)物理教學(xué)中常見(jiàn)的一種質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方式，因?yàn)槠滠壽E已知，此時(shí)采用自然坐標(biāo)系分析質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)比較方便。按照普通物理教材[2]中自然坐標(biāo)系切向單位矢量的規(guī)定（與質(zhì)點(diǎn)速度方向同向），分析單向的曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，圖像非常清晰，學(xué)生易于理解和接受。但是，筆者在教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，分析往復(fù)曲線運(yùn)動(dòng)（例如，單擺運(yùn)動(dòng)）時(shí)，不少學(xué)生往往對(duì)切向合力的正負(fù)心存疑惑，不甚理解。本文認(rèn)為，在這種情況下，根據(jù)文獻(xiàn)[1]中的規(guī)則，并進(jìn)一步明確弧坐標(biāo)的定義以及速度和加速度的表達(dá)式，可以使切向動(dòng)力學(xué)方程得到統(tǒng)一的表示，較好地解決學(xué)生的困惑，同時(shí)加深學(xué)生對(duì)自然坐標(biāo)系的認(rèn)識(shí)。

　　一、問(wèn)題的提出

　　以單擺為例。如圖1所示，設(shè)l為擺線的長(zhǎng)度，m為小球的質(zhì)量。小球在重力和繩子拉力的作用下，做小角度往復(fù)圓弧運(yùn)動(dòng)。擺線豎直位置為系統(tǒng)的平衡位置，由此起算，規(guī)定逆時(shí)針?lè)较虻慕俏灰痞葹檎�，反之為�?fù)[7]。在自然坐標(biāo)系中，重力的切向分量與θ反向，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律得：

　　當(dāng)θ很小時(shí)，sinθ≈θ，所以

　　這是一個(gè)典型的簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程，其振動(dòng)表達(dá)式為

　　式中θm為角振幅，為初相位，它們由初始條件決定；為振動(dòng)的圓頻率。因此，單擺在擺角很小時(shí)，做角諧振動(dòng)。

　　在上述推算中，方程（1）中切向力前面的負(fù)號(hào)是關(guān)鍵所在，但是學(xué)生也往往就對(duì)這個(gè)負(fù)號(hào)感到困惑。按照教材
上的規(guī)定[2]，自然

　　二、自然坐標(biāo)系中單位矢量的取向，弧坐標(biāo)的定義、速度和加速度的表達(dá)式

　　本文認(rèn)為，根據(jù)文獻(xiàn)[1]中的規(guī)則，并進(jìn)一步明確弧坐標(biāo)的定義以及速度和加速度的表達(dá)式，可以使得方程（1）普遍成立，并使方程（1）中θ的正負(fù)與弧坐標(biāo)s的正負(fù)規(guī)定相一致，從而較好地解決學(xué)生的困惑。

　　依據(jù)文獻(xiàn)[1]，自然坐標(biāo)系的法向單位矢量指向曲線的凹側(cè)，切向單位矢量逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)π/2與重合，如圖3所示。也就是說(shuō)，  的方向不必隨著小球的運(yùn)動(dòng)不斷地變換。

　　以軌跡上的平衡位置O點(diǎn)作為參考點(diǎn)，小球在軌跡上的位置用O點(diǎn)至小球所在點(diǎn)的弧長(zhǎng)s來(lái)確定，s稱(chēng)為弧坐標(biāo)，為代數(shù)量，規(guī)定為與同方向一側(cè)為正值，與反方向一側(cè)為負(fù)值。顯然，s=lθ （4）

　　因此，s和θ的正負(fù)值的規(guī)定是相一致的，不會(huì)產(chǎn)生矛盾。由平衡位置起算，逆時(shí)針?lè)较虻慕俏灰痞葹檎�，此時(shí)，s也為正；反之，兩者都為負(fù)值。

　　三、單擺切向動(dòng)力學(xué)方程的普遍性

　　按照上述的取向規(guī)定和弧坐標(biāo)的定義，再來(lái)分段討論單擺的切向動(dòng)力學(xué)方程，將發(fā)現(xiàn)方程（1）是普遍成立的。

　　四、結(jié)論

　　本文分析了往復(fù)曲線運(yùn)動(dòng)（以單擺為例）中自然坐標(biāo)系單位矢量正方向的選取，并進(jìn)一步給出了弧坐標(biāo)的定義，使單擺小球的切向動(dòng)力學(xué)方程得到了統(tǒng)一的表示，并使角位移θ的正負(fù)與弧坐標(biāo)s的正負(fù)規(guī)定相一致，較好地解決了學(xué)生的困惑，加深了學(xué)生對(duì)自然坐標(biāo)系的認(rèn)識(shí)和理解。

　　參考文獻(xiàn)：

　　[1]馬長(zhǎng)占。對(duì)《自然坐標(biāo)系中的符號(hào)規(guī)則》一文的異議[J].大學(xué)物理，1988，（5）：9-11.

　　[2]程守洙，江之永。普通物理學(xué)上冊(cè)[M].第六版。北京：高等教育出版社，2006：14-16.

　　[3]周衍柏。理論力學(xué)教程[M].第3版。北京：高等教育出版社，2009：80.

　　[4]陳洛恩，陳時(shí)錦，楊紅，李梅。自然坐標(biāo)系淺析[J].云南師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1999，19（5）：73-76.

　　[5]馬淑紅，王天興，焦照勇。坐標(biāo)軸正方向選取對(duì)力學(xué)問(wèn)題求解的影響[J].高師理科學(xué)刊，2014，34（3）：62-65.

　　[6]尹海峰，曾春花，岳莉，陳廣萍。自然坐標(biāo)系單位矢量的新認(rèn)識(shí)[J].銅仁學(xué)院學(xué)報(bào)，2014，16（4）：138-140.

　　[7]程守洙，江之永。普通物理學(xué)下冊(cè)[M].第六版。北京：高等教育出版社，2006：10-11.

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