復(fù)數(shù)的乘法與除法

教學(xué)目標(biāo)

　�。�1）掌握復(fù)數(shù)乘法與除法的運(yùn)算法則，并能熟練地進(jìn)行乘、除法的運(yùn)算；

　　（2）能應(yīng)用i和 的周期性、共軛復(fù)數(shù)性質(zhì)、模的性質(zhì)熟練地進(jìn)行解題；
　　
　�。�3）讓學(xué)生領(lǐng)悟到“轉(zhuǎn)化”這一重要數(shù)學(xué)思想方法；
　　
　�。�4）通過學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)乘法與除法的運(yùn)算法則，培養(yǎng)學(xué)生探索問題、分析問題、解決問題的能力。

 

教學(xué)建議

一、知識結(jié)構(gòu)

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

　　本節(jié)的重點(diǎn)和難點(diǎn)是復(fù)數(shù)乘除法運(yùn)算法則及復(fù)數(shù)的有關(guān)性質(zhì)．復(fù)數(shù)的代數(shù)形式相乘，與加減法一樣，可以按多項(xiàng)式的乘法進(jìn)行，但必須在所得的結(jié)果中把 換成－1，并且把實(shí)部與虛部分合并．很明顯，兩個(gè)復(fù)數(shù)的積仍然是一個(gè)復(fù)數(shù)，即在復(fù)數(shù)集內(nèi)，乘法是永遠(yuǎn)可以實(shí)施的，同時(shí)它滿足并換律、結(jié)合律及乘法對加法的分配律．規(guī)定復(fù)數(shù)的除法是乘法的逆運(yùn)算，它同多項(xiàng)式除法類似，當(dāng)兩個(gè)多項(xiàng)式相除，可以寫成分式，若分母含有理式時(shí)，要進(jìn)行分母有理化，而兩個(gè)復(fù)數(shù)相除時(shí)，要使分母實(shí)數(shù)化，即分式的分子和分母都乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，使分母變成實(shí)數(shù)．

三、教學(xué)建議

　　1．在學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式相乘時(shí)，復(fù)數(shù)的乘法法則規(guī)定按照如下法則進(jìn)行．設(shè) 是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么它們的積：

    

　　也就是說．復(fù)數(shù)的乘法與多項(xiàng)式乘法是類似的，注意有一點(diǎn)不同即必須在所得結(jié)果中把 換成一1，再把實(shí)部，虛部分別合并，而不必去記公式．

　　2．復(fù)數(shù)的乘法不僅滿足交換律與結(jié)合律，實(shí)數(shù)集R中整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算律，在復(fù)數(shù)集C中仍然成立，即對任何 ， ， 及 ，有：

， ， ；

對于復(fù)數(shù) 只有在整數(shù)指數(shù)冪的范圍內(nèi)才能成立．由于我們尚未對復(fù)數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪進(jìn)行定義，因此如果把上述法則擴(kuò)展到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪內(nèi)運(yùn)用，就會得到荒謬的結(jié)果。如 ，若由 ，就會得到 的錯(cuò)誤結(jié)論，對此一定要重視。

3．講解復(fù)數(shù)的除法，可以按照教材規(guī)定它是乘法的逆運(yùn)算，即求一個(gè)復(fù)數(shù) ，使它滿足 （這里 ， 是已知的復(fù)數(shù)）．列出上式后，由乘法法則及兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的條件得：

，

由此

，  

于是

得出商以后，還應(yīng)當(dāng)著重向?qū)W生指出：如果根據(jù)除法的定義，每次都按上述做來法逆運(yùn)算的辦法來求商，這將是很麻煩的．分析一下商的結(jié)構(gòu)，從形式上可以得出兩個(gè)復(fù)數(shù)相除的較為簡捷的求商方法，就是先把它們的商寫成分式的形式，然后把分子與分母都乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，再把結(jié)果化簡即可．

　　4．這道例題的目的之一是訓(xùn)練我們對于復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算、乘方運(yùn)算及乘法公式的操作，要求我們做到熟練和準(zhǔn)確。從這道例題的運(yùn)算結(jié)果，我們應(yīng)該看出， 也是-1的一個(gè)立方根。因此，我們應(yīng)該修正過去關(guān)于“-1的立方根是-1”的認(rèn)識，想到-1至少還有一個(gè)虛數(shù)根 。然后再回顧例2的解題過程，發(fā)現(xiàn)其中所有的“-”號都可以改成“±”。這樣就能找出-1的另一個(gè)虛數(shù)根 。所以-1在復(fù)數(shù)集C內(nèi)至少有三個(gè)根：-1， ， 。以上對于一道例題或練習(xí)題的反思過程，看起來并不難，但對我們學(xué)習(xí)知識和提高能力卻十分重要。它可以有效地鍛煉我們的逆向思維，拓寬和加深我們的知識，使我們對一個(gè)問題的認(rèn)識更加全面。

　　5．教材194頁第6題 這是關(guān)于復(fù)數(shù)模的一個(gè)重要不等式，在研究復(fù)數(shù)模的最值問題中有著廣泛的應(yīng)用。在應(yīng)用上述絕對值不等式過程中，要特別注意等號成立的條件。

 

教學(xué)設(shè)計(jì)示例

復(fù)數(shù)的乘法

教學(xué)目標(biāo)

　　1．掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘法運(yùn)算法則，能熟練地進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算；

　　2．理解復(fù)數(shù)的乘法滿足交換律、結(jié)合律以及分配律；

　　3．知道復(fù)數(shù)的乘法是同復(fù)數(shù)的積，理解復(fù)數(shù)集C中正整數(shù)冪的運(yùn)算律，掌握i的乘法運(yùn)算性質(zhì)．

教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)

　　復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算法則及復(fù)數(shù)的有關(guān)性質(zhì)．

　　難點(diǎn)是復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算律的理解．

教學(xué)過程設(shè)計(jì)

1．  引入新課

　　前面學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的加減法，其運(yùn)算法則與兩個(gè)多項(xiàng)式相加減的辦法一致．那么兩個(gè)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算是否仍可與兩個(gè)多項(xiàng)式相乘類似的辦法進(jìn)行呢？

　　教學(xué)中，可讓學(xué)生先按此辦法計(jì)算，然后將同學(xué)們運(yùn)算所得結(jié)果與教科書的規(guī)定對照，從而引入新課．

2．  提出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運(yùn)算法則：

 ．

　　指出這一法則也是一種規(guī)定，由于它與多項(xiàng)式乘法運(yùn)算法則一致，因此，不需要記憶這個(gè)公式．

3．  引導(dǎo)學(xué)生證明復(fù)數(shù)的乘法滿足交換律、結(jié)合律以及分配律．

4．  講解例1、例2

　　例1　求 ．

　　此例的解答可由學(xué)生自己完成．然后，組織討論，由學(xué)生自己歸納總結(jié)出共軛復(fù)數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)： ．

　　教學(xué)過程中，也可以引導(dǎo)學(xué)生用以上公式來證明：

 ．

　　例2         計(jì)算 ．

　　教學(xué)中，可將學(xué)生分成三組分別按不同的運(yùn)算順序進(jìn)行計(jì)算．比如說第一組按 進(jìn)行計(jì)算；第二組按 進(jìn)行計(jì)算．討論其計(jì)算結(jié)果一致說明了什么問題？

5．  引導(dǎo)學(xué)生得出復(fù)數(shù)集中正整數(shù)冪的運(yùn)算律以及i的乘方性質(zhì)

　　教學(xué)過程中，可根據(jù)學(xué)生的情況，考慮是否將這些結(jié)論推廣到自然數(shù)冪或整數(shù)冪．

6．  講解例3

　　例3         設(shè) ，求證：（1） ；（2）

　　講此例時(shí)，應(yīng)向?qū)W生指出：（1）實(shí)數(shù)集中的乘法公式在復(fù)數(shù)集中仍然成立；（2）復(fù)數(shù)的混合運(yùn)算也是乘方，乘除，最后加減，有括號應(yīng)先處括號里面的．

　　此后引導(dǎo)學(xué)生思考：（1）課本中關(guān)于（2）小題的注解；（2）如果 ，則 與 還成立嗎？

7．  課堂練習(xí)

　　課本練習(xí)第1、2、3題．

8．  歸納總結(jié)

　�。�1）學(xué)生填空：

 　　　； ＝　　　＝　　　　．

　　設(shè) ，則 ＝　　　， ＝　　　， ＝　　　， ＝　　　．

　　設(shè) （或 ），則 　　　　， 　　　．

　�。�2）對復(fù)數(shù)乘法、乘方的有關(guān)運(yùn)算進(jìn)行小結(jié)．

9．作業(yè)

　　課本習(xí)題5.4第1、3題．

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