數學教案－圓的方程

§7.6  圓的方程（第二課時）
㈠課時目標 
1． 掌握圓的一般式方程及其各系數的幾何特征。
2． 待定系數法之應用。
㈡問題導學
問題1：寫出圓心為（a,b）,半徑為r的圓的方程，并把圓方程改寫成二元二次方程的形式。 -2ax-2by+ =0
問題2：下列方程是否表示圓的方程，判斷一個方程是否為圓的方程的標準是什么？
① ；            ② 1                     
③ 0；            ④ -2x+4y+4=0
⑤ -2x+4y+5=0;             ⑥ -2x+4y+6=0
㈢教學過程（m.htc668.com）
 [情景設置] 
  把圓的標準方程 展開得 -2ax-2by+  =0
  可見，任何一個圓的方程都可以寫成下面的形式：
    +Dx+Ey+F=0                                        ①
  提問:方程表示的曲線是不是圓?一個方程表示的曲線是否為圓有標準嗎?
  [探索研究]
  將①配方得 :    ( )  ② 
  將方程 ②與圓的標準方程對照.
  ⑴當 ＞0時, 方程 ②表示圓心在 (- ),半徑為 的圓.
  ⑵當 =0時,方程①只表示一個點(- ).
  ⑶當 ＜0時, 方程①無實數解,因此它不表示任何圖形.
  結論: 當 ＞0時, 方程 ①表示一個圓, 方程 ①叫做圓的一般方程.
  圓的標準方程的優(yōu)點在于明確地指出了圓心和半徑,而一般方程突出了形式上的特點:
  ⑴ 和 的系數相同,不等于0;
  ⑵沒有xy這樣的二次項.
 以上兩點是二元二次方程A +Bxy+C +Dx+Ey+F=0表示圓的必要條件,但不是充分條件
[知識應用與解題研究]
[例1]  求下列各圓的半徑和圓心坐標.
  ⑴ -6x=0;     ⑵ +2by=0(b≠0)
[例2]求經過O（0，0），A（1，1），B（2，4）三點的圓的方程，并指出圓心和半徑。
 分析：用待定系數法設方程為   +Dx+Ey+F=0 ，求出D，E，F(xiàn)即可。
[例3]已知一曲線是與兩個定點O（0，0）、A（3，0）距離的比為 的點的軌跡，求此曲線的方程，并畫出曲線。
 分析：本題直接給出點，滿足條件，可直接用坐標表示動點滿足的條件得出方程。
 反思研究：到O（0，0），A（1，1）的距離之比為定植k（k>0）的點的軌跡又如何？當k=1時為直線，k>0時且k≠1時為圓。
㈣提煉總結
1． 圓的一般方程： +Dx+Ey+F=0 （ ＞0）。
2． 二元二次方程A +Bxy+C +Dx+Ey+F=0表示圓的必要條件是：A=C≠0且B=0。
3． 圓的方程兩種形式的選擇：與圓心半徑有直接關系時用標準式，無直接關系選一般式。
4． 兩圓的位置關系（相交、相離、相切、內含）。
㈤布置作業(yè)
1． 直線l過點P（3，0）且與圓 -8x-2y+12=0截得的弦最短，則直線l的方程為：
2． 求下列各圓的圓心、半徑并畫出它們的圖形。
⑴    -2x-5=0；  ⑵ +2x-4y-4=0
 3．經過兩圓 +6x-4=0和 +6y-28=0的交點，并且圓心在直線x-y-4=0上的圓的方程。

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