不等式的證明(一）

教學(xué)目標(biāo)

　�。�1）理解證明不等式的三種方法：比較法、綜合法和分析法的意義；
　�。�2）掌握用比較法、綜合法和分析法來證簡單的不等式；
　�。�3）能靈活根據(jù)題目選擇適當(dāng)?shù)刈C明方法來證不等式；
　�。�4）能用不等式證明的方法解決一些實際問題，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力；
　　（6）通過不等式證明，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理論證的能力和抽象思維能力；
　�。�7）通過組織學(xué)生對不等式證明方法的意義和應(yīng)用的參與，培養(yǎng)學(xué)生勤于思考、善于思考的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣．

教學(xué)建議

（一）教材分析

　　1．知識結(jié)構(gòu)

　　

　　2．重點、難點分析

　　重點：不等式證明的主要方法的意義和應(yīng)用；

　　難點：①理解分析法與綜合法在推理方向上是相反的；

　　②綜合性問題選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法．

　�。�1）不等式證明的意義

　　不等式的證明是要證明對于滿足條件的所有數(shù)都成立（或都不成立），而并非是帶入具體的數(shù)值去驗證式子是否成立．

　�。�2）比較法證明不等式的分析

　　①在證明不等式的各種方法中，比較法是最基本、最重要的方法．

　　②證明不等式的比較法，有求差比較法和求商比較法兩種途徑．

　　由于 ，因此，證明 ，可轉(zhuǎn)化為證明與之等價的 ．這種證法就是求差比較法．

　　由于當(dāng) 時， ，因此，證明 可以轉(zhuǎn)化為證明與之等價的 ．這種證法就是求商比較法，使用求商比較法證明不等式 時，一定要注意 的前提條件．

　　③求差比較法的基本步驟是：“作差——變形——斷號”．

　　其中，作差是依據(jù)，變形是手段，判斷符號才是目的．

　　變形的目的全在于判斷差的符號，而不必考慮差值是多少．

　　變形的方法一般有配方法、通分的方法和因式分解的方法等，為此，有時把差變形為一個常數(shù)，或者變形為一個常數(shù)與一個或幾個數(shù)的平方和的形式．或者變形為一個分式，或者變形為幾個因式的積的形式等．　　總之．能夠判斷出差的符號是正或負(fù)即可．

　　④作商比較法的基本步驟是：“作商——變形——判斷商式與1的大小關(guān)系”，需要注意的是，作商比較法一般用于不等號兩側(cè)的式子同號的不等式的證明．

　�。�3）綜合法證明不等式的分析

　�、倮�用某些已經(jīng)證明過的不等式和不等式的性質(zhì)推倒出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法．

　�、诰C合法的思路是“由因?qū)Ч�”：從已知的不等式出發(fā)，通過一系列的推出變換，推倒出求證的不等式．

　�、劬C合法證明不等式的邏輯關(guān)系是：

… ．

（已知）（逐步推演不等式成立的必要條件）（結(jié)論）

　�、芾�用綜合法由因?qū)Ч�證明不等式，就要揭示出條件與結(jié)論之間的因果關(guān)系，為此要著力分析已知與求證之間的差異和聯(lián)系、不等式左右兩端的差異和聯(lián)系，在分析所證不等式左右兩端的差異后，合理應(yīng)用已知條件，進(jìn)行有效的變換是證明不等式的關(guān)鍵．

　�。�4）分析法證明不等式的分析

　　①從求證的不等式出發(fā)，逐步尋求使不等式成立的充分條件，直至所需條件被確認(rèn)成立，就斷定求證的不等式成立，這種證明方法就是分析法．

　　有時，我們也可以首先假定所要證明的不等式成立，逐步推出一個已知成立的不等式，只要這個推出過程中的每一步都是可以逆推的，那么就可以斷定所給的不等式成立．這也是用分析法，注意應(yīng)強(qiáng)調(diào)“以上每一步都可逆”，并說出可逆的根據(jù)．

　�、诜治龇ǖ乃悸肥恰皥�(zhí)果導(dǎo)因”：從求證的不等式出發(fā)，探索使結(jié)論成立的充分條件直至已成立的不等式．它與綜合法是對立統(tǒng)一的兩種方法．

　　③用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系是：

… ．

（已知）（逐步推演不等式成立的必要條件）（結(jié)論）

　�、芊治龇ㄊ墙虒W(xué)中的一個難點，一是難在初學(xué)時不易理解它的本質(zhì)是從結(jié)論分析出使結(jié)論成立的“充分”條件，二是不易正確使用連接有關(guān)（分析推理）步驟的關(guān)鍵詞．如“為了證明”“只需證明”“即”以及“假定……成立”等．

　�、莘治龇ㄊ亲C明不等式時一種常用的基本方法．當(dāng)證明不知從何入手時，有時可以運用分析法而獲得解決．特別對于條件簡單而結(jié)論復(fù)雜的題目往往更是行之有效．

　�。�5）關(guān)于分析法與綜合法

　　①分析法與綜合法是思維方向相反的兩種思考方法．

　�、谠�數(shù)學(xué)解題中，分析法是從數(shù)學(xué)題的待證結(jié)論或需求問題出發(fā)，一步一步地探索下去，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件．即推理方向是：結(jié)論 已知．

　　綜合法則是從數(shù)學(xué)題的已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達(dá)到待證結(jié)論或需求問題．即：已知 結(jié)論．

　　③分析法的特點是：從“結(jié)論”探求“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理實際上是要尋找結(jié)論的充分條件．

　　綜合法的特點是：從“已知”推出“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理實際上是要尋找已知的必要條件．

　�、芨饔衅鋬�(yōu)缺點：

　　從尋求解題思路來看：分析法是執(zhí)果索因，利于思考，方向明確，思路自然，有希望成功；綜合法由因?qū)Ч�，往往枝�?jié)橫生，不容易達(dá)到所要證明的結(jié)論．

　　從書寫表達(dá)過程而論：分析法敘述繁鎖，文辭冗長；綜合法形式簡潔，條理清晰．

也就是說，分析法利于思考，綜合法宜于表達(dá)．

　�、菀话銇碚f，對于較復(fù)雜的不等式，直接運用綜合法往往不易入手，用分析法來書寫又比較麻煩．因此，通常用分析法探索證題途徑，然后用綜合法加以證明，所以分析法和綜合法經(jīng)常是結(jié)合在一起使用的．

（二）教法建議

　�、龠x擇例題和習(xí)題要注意層次性．

　　不等式證明的三種方法主要是通過例題來說明的．教師在教學(xué)中要注意例題安排要由易到難，由簡單到綜合，層層深入，啟發(fā)學(xué)生理解各種證法的意義和邏輯關(guān)系．教師選擇的訓(xùn)練題也要與所講解的例題的難易程度的層次相當(dāng)．

　　要堅持精講精練的原則．通過一題多法和多變挖掘各種方法的內(nèi)在聯(lián)系，對知識進(jìn)行拓展、延伸，使學(xué)生溝通知識，有效地提高解題能力．

　�、谠�教學(xué)過程（m.htc668.com）中，應(yīng)通過精心設(shè)置的一個個問題，激發(fā)學(xué)生的求知欲，調(diào)動學(xué)生在課堂活動中積極參與．

　　通過學(xué)生參與教學(xué)活動，理解不等式證明方法的實質(zhì)和幾種證明方法的意義，通過訓(xùn)練積累經(jīng)驗，能夠總結(jié)出比較法的實質(zhì)是把實數(shù)的大小順序通過實數(shù)運算變成一個數(shù)與0(或1)比較大�。粡�(fù)雜的習(xí)題能夠利用綜合法發(fā)展條件向結(jié)論方向轉(zhuǎn)化，利用分析法能夠把結(jié)論向條件靠攏，最終達(dá)到結(jié)合點，從而解決問題．

　�、蹖W(xué)生素質(zhì)較好的，教師可在教學(xué)中適當(dāng)增加反證法和用函數(shù)單調(diào)性來證明不等式的內(nèi)容，但內(nèi)容不易過多過難．

 

第一課時

教學(xué)目標(biāo)

　　1．掌握證明不等式的方法——比較法；

　　2．熟悉并掌握比較法證明不等式的意義及基本步驟．

教學(xué)重點  比較法的意義和基本步驟.

教學(xué)難點  常見的變形技巧.

教學(xué)方法  啟發(fā)引導(dǎo)式.

教學(xué)過程（m.htc668.com）

    （－）導(dǎo)入新課

　�。ń處熁顒樱┙處熖釂枺焊鶕�(jù)前一節(jié)學(xué)過的知識，我們?nèi)绾斡脤崝?shù)運算來比較兩個實數(shù) 與 的大小？．

　�。▽W(xué)生活動）學(xué)生思考問題，找學(xué)生甲口答問題．

　　（學(xué)生甲回答： ， ， ，）

　�。埸c評］（待學(xué)生回答問題后）要比較兩個實數(shù) 與 的大小，只要考察 與 的差值的符號就可以了，這種證明不等式的方法稱為比較法．現(xiàn)在我們就來學(xué)習(xí)：用比較法證明不等式．（板書課題）

　　設(shè)計意圖：通過教師設(shè)置問題，引導(dǎo)學(xué)生回憶所學(xué)的知識，引出用比較法證明不等式，導(dǎo)入本節(jié)課學(xué)習(xí)的知識．

　�。ǘ�）新課講授

　　【嘗試探索，建立新知】

　�。ń處熁顒樱┙處煱鍟鴨栴}（證明不等式），寫出一道例題的題目

　　[問題] 求證

　　教師引導(dǎo)學(xué)生分析、思考，研究不等式的證明．

　　（學(xué)生活動）學(xué)生研究證明不等式，嘗試完成問題．

　�。ǖ贸鲎C明過程后）

　�。埸c評］

　　 ①通過確定差的符號，證明不等式的成立．這一方法，在前面比較兩個實數(shù)的大小、比較式子的大小、證明不等式性質(zhì)就已經(jīng)用過．

　　 ②通過求差將不等問題轉(zhuǎn)化為恒等問題，將兩個一般式子大小比較轉(zhuǎn)化為一個一般式子與0的大小比較，使問題簡化．

　　 ③理論依據(jù)是：

　　  ④由 ， ，知：要證明 只要證 ；要證明 這種證明不等式的方法通常叫做比較法．

　　設(shè)計意圖：幫助學(xué)生構(gòu)建用比較法證明不等式的知識體系，培養(yǎng)學(xué)生化歸的數(shù)學(xué)思想．

　　【例題示范，學(xué)會應(yīng)用】

　�。ń處熁顒樱┙處煱鍟�例題，引導(dǎo)學(xué)生研究問題，構(gòu)思證題方法，學(xué)會解題過程中的一些常用技巧，并點評．

　　例1 求證

　�。▽W(xué)生活動）學(xué)生在教師引導(dǎo)下，研究問題．與教師一道完成問題的論證．

　�。鄯治觯萦杀容^法證題的方法，先將不等式兩邊作差，得 ，將此式看作關(guān)于 的二次函數(shù)，由配方法易知函數(shù)的最小值大干零，從而使問題獲證．

　　證明：∵

　�。�

　�。� ，

　　∴ ．

    ［點評］

　�、僮鞑詈笫峭ㄟ^配方法對差式進(jìn)行恒等變形，確定差的符號．

　　 ②作差后，式于符號不易確定，配方后變形為一個完全平方式子與一個常數(shù)和的形式，使差式的符號易于確定．

　　 ③不等式兩邊的差的符號是正是負(fù)，一般需要利用不等式的性質(zhì)經(jīng)過變形后，才能判斷．

　　變形的目的全在于判斷差的符號，而不必考慮差的值是多少．至于怎樣變形，要靈活處理，例1介紹了變形的一種常用方法——配方法．

　　 例2  已知都是正數(shù)，并且 ，求證：

　　［分析］這是分式不等式的證明題，依比較法證題將其作差，確定差的符號，應(yīng)通分，由分子、分母的值的符號推出差值的符合，從而得證．

　　證明：

　�。�

　�。� ．

　　因為 都是正數(shù)，且 ，所以

．

　　∴                         ．

　　即：                      

　　[點評]

　　 ①作差后是通過通分法對差式進(jìn)行恒等變形，由分子、分母的值的符號推出差的符號．

　　 ②本例題介紹了對差變形，確定差值的符號的一種常用方法——通分法．

　　 ③例2的結(jié)論反映了分式的一個性質(zhì)（若都是正數(shù)．

　　1．當(dāng) 時，

　　2．當(dāng) 時， ．以后要記住．

　　設(shè)計意圖：鞏固用比較法證明不等式的知識，學(xué)會在用比較法證明不等式中，對差式變形的常用方法——配方法、通分法．

　　【課堂練習(xí)】

　�。ń處熁顒樱┐虺鲎帜唬ň毩�(xí)），要求學(xué)生獨立思考．完成練習(xí)；請甲、乙兩學(xué)生板演；巡視學(xué)生的解題情況，對正確的證法給予肯定和鼓勵，對偏差點撥和糾正；點評練習(xí)中存在的問題．

　　[字幕]

　　練習(xí)：1．求證

　　2．已知 ， ， ，d都是正數(shù)，且 ，求證

　�。▽W(xué)生活動）在筆記本上完成練習(xí)，甲、乙兩位同學(xué)板演．

　　 設(shè)計意圖，掌握用比較法證明不等式，并會靈活運用配方法和通分法變形差式，確定差式符號．反饋課堂教學(xué)效果，調(diào)節(jié)課堂教學(xué)．

　　【分析歸納、小結(jié)解法】

　�。ń虒W(xué)活動）分析歸納例題和練習(xí)的解題過程，小結(jié)用比較法證明不等式的解題方法．

　　（學(xué)生活動）與教師一道分析歸納，小結(jié)解題方法，并記錄筆記．

　　比較法是證明不等式的一種最基本、重要的方法．用比較法證明不等式的步驟是：作差、變形、判斷符號．要靈活掌握配方法和通分法對差式進(jìn)行恒等變形．

　　 設(shè)計意圖：培養(yǎng)學(xué)生分析歸納問題的能力，掌握用比較法證明不等式的方法．

　�。ㄈ�）小結(jié)

　�。ń處熁顒樱┙處熜〗Y(jié)本節(jié)課所學(xué)的知識．

　　（學(xué)生活動）與教師一道小結(jié)，并記錄筆記．

　　本節(jié)課學(xué)習(xí)了用比較法證明不等式，用比較法證明不等式的步驟中，作差是依據(jù)，變形是手段，判斷符號才是目的．掌握求差后對差式變形的常用方法：配方法和通分法．并在下節(jié)課繼續(xù)學(xué)習(xí)對差式變形的常用方法．

　　 設(shè)計意圖：培養(yǎng)學(xué)生對所學(xué)知識進(jìn)行概括歸納的能力，鞏固所學(xué)知識．

　�。ㄋ模┎贾米鳂I(yè)

　　1．課本作業(yè)：P16．1，2，3．

　　2．思考題：已知 ，求證：

　　3．研究性題：設(shè) ， ， 都是正數(shù)，且 ，求證：

設(shè)計意圖，課本作業(yè)供學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識；思考題供學(xué)有余力的學(xué)生完成，培養(yǎng)其靈活掌握用比較法證明不等式的能力；研究性題是為培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識．

　　（五）課后點評

　　1．本節(jié)課是用比較法證明不等式的第一節(jié)課，在導(dǎo)入新課時，教師提出問題，讓學(xué)生回憶所學(xué)知識中，是如何比較兩個實數(shù)大小的，從而引入用比較法證明不等式．這樣處理合情合理，順理成章．

　　2．在建立新知過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生分析研究證明不等式，使學(xué)生在嘗試探索過程中形成用比較法證明不等式的感性認(rèn)識．

　　 3．例1，例2兩道題主要目的在于讓學(xué)生歸綱、總結(jié)，求差后對差式變形、并判斷符號的方法，以及求差比較法的步驟．在這里如何對差式變形是難點，應(yīng)著重解決．首先讓學(xué)生明確變形目的，減少變形的盲目性；其次是總結(jié)變形時常用方法，有利于難點的突破．

　　4．本節(jié)課采用啟發(fā)引導(dǎo)，講練結(jié)合的授課方式，發(fā)揮教師主導(dǎo)作用，體現(xiàn)學(xué)生主體地位，學(xué)生獲取知識必須通過學(xué)生自己一系列思維活動完成．教師通過啟發(fā)誘導(dǎo)學(xué)生深入思考問題，培養(yǎng)學(xué)生思維靈活、嚴(yán)謹(jǐn)、深刻等良好思維品質(zhì)．

　　作業(yè)答實

　　思考題： ，又 ，獲證．

　　研究性題：

．

　　所以 ，

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