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下學期 4.11 已知三角函數值求角2
(第二課時)
一.教學目標
1.掌握已知一角的正切值,求角的方法.
2.掌握給定區(qū)間內,用反三角函數表示一個角的方法.
二.教學具準備
投影儀
三.教學過程
1.設置情境
師:請同學們看投影,回答問題
。1)若 , ,則 .
。2)若 , 則 .
生:(1) 或 .
(2) 或 .
師:回答正確.請同學結合上面兩個小題的求解過程,總結一下已知三角函數值求角的一般步驟:
生:從上面兩個小題的求解過程看,有三個步驟:
第一步,決定角 可能是第幾象限角.
第二步,如果函數值為正數,則先求出對應的銳角 ;如果函數值為負數,則先求了與其絕對值對應的銳角 ;
第三步,如果函數值為負數,則根據角 可能是第幾象限角,得出 內對應的角—如果它是第二象限角,那么可表示為 ,如果它是第三或第四象限角,那么可表示為 或 .
師:總結得很好,本節(jié)課我們繼續(xù)學習用反正切表示角的方法,先請同學看問題(投影儀):
2.探索研究(此部分可由學生仿照正弦、余弦分析解決)
【例1】(1)已知 ,且 ,求 (精確到 ).
。2)已知 ,且 ,求 的取值集合.
解:(1)由正切函數在開區(qū)間 上是增函數和 可知,符合條件的角有且只有一個,利用計算器可得 (或 ).
(2)由正切函數的周期性,可知 時, ,所以所求的 的集合是 .
下面討論反正切概念,請看 圖形(圖1)(投影儀):
觀察正切函數的圖像的性質,為了使符合條件 ( 為任意實數)的角 有且只有一個,我們選擇開區(qū)間 作基本的范圍,在這個開區(qū)間內,符合條件 ( 為任意實數)的角 ,叫做實數 反正切,記作 ,即 ,其中 ,且 ,那么,此例第(2)小題的答案可以寫成 .
表示的意義: 表示一個角,角的特點是①角的正切值為x,因此角的大小受x的限制;②并不是所有滿足 的角都可以,只能是 范圍內滿足 的角;③由于x為角的正切值,所以x的值可為全體實數.
【例2】(1)已知 ,且 ,求 .
。2)已知 ,且 ,求 的取值集合.
解:(1)因為 ,所以 .由正切函數在開區(qū)間 上是增函數可知符合條件的角有且只有一個,所以 .
。2)由正切函數的周期性,可知當 時, .
∴所求 的取值集合是 .
參考例題(供層次高的學生使用):
1.求值 .
解:根據誘導公式 ,且 ,
∴ .
評法:由于反正弦 表示 內的一個角,而 ,所以應先用誘導公式將其轉化為區(qū)間 內的角,再進行計算.
2.求 的值.
解:∵ 、 表示 中的角
∴令 ,則 ,
,則
∴
又∵ 和 均為銳角
∴
∴
3.演練反饋(投影)
(1)滿足 的 的集合是( )
A. B.
C. D.
。2)已知 是第二象限角,是 ,則 .
。3)已知 , ,且 為第三象限角, 為第四象限角,求 、 .
參考答案:
(1)D (2) , .
(3)
∵ 為第三象限角, 為第四象限角.
∴ , ,
4.總結提煉
(1)由反正切定義知: , ,
(2)已知: , ,用 表示
范圍
位置及大小
或
或
或
四.板書設計
課題
例1
例2
反正切
概念
演練反饋
總結提煉
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