數(shù)學教案－集合
一、知識結(jié)構(gòu)
本小節(jié)首先從初中代數(shù)與幾何涉及的集合實例人手，引出集合與集合的元素的概念，并且結(jié)合實例對集合的概念作了說明．然后，介紹了集合的常用表示方法，包括列舉法、描述法，還給出了畫圖表示集合的例子．
二、重點難點分析
這一節(jié)的重點是集合的基本概念和表示方法，難點是運用集合的三種常用表示方法正確表示一些簡單的集合．這一節(jié)的特點是概念多、符號多，正確理解概念和準確使用符號是學好本節(jié)的關(guān)鍵．為此，在教學時可以配備一些需要辨析概念、判斷符號表示正誤的題目，以幫助學生提高判斷能力，加深理解集合的概念和表示方法．
1．關(guān)于牽頭圖和引言分析
章頭圖是一組跳傘隊員編成的圖案，引言給出了一個實際問題，其目的都是為了引出本章的內(nèi)容無論是分析還是解決這個實際間題，必須用到集合和邏輯的知識，也就是把它數(shù)學化．一方面提高用數(shù)學的意識，一方面說明集合和簡易邏輯知識是高中數(shù)學重要的基礎(chǔ)．
2．關(guān)于集合的概念分析
點、線、面等概念都是幾何中原始的、不加定義的概念，集合則是集合論中原始的、不加定義的概念．
初中代數(shù)中曾經(jīng)了解“正數(shù)的集合”、“不等式解的集合”；初中幾何中也知道中垂線是“到兩定點距離相等的點的集合”等等．在開始接觸集合的概念時，主要還是通過實例，對概念有一個初步認識．教科書給出的“一般地，某些指定的對象集在一起就成為一個集合，也簡稱集．”這句話，只是對集合概念的描述性說明．
我們可以舉出很多生活中的實際例子來進一步說明這個概念，從而闡明集合概念如同其他數(shù)學概念一樣，不是人們憑空想象出來的，而是來自現(xiàn)實世界．
3．關(guān)于自然數(shù)集的分析
教科書中給出的常用數(shù)集的記法，是新的國家標準，與原教科書不盡相同，應(yīng)該注意．
新的國家標準定義自然數(shù)集N含元素0，這樣做一方面是為了推行國際標準化組織（ISO）制定的國際標準，以便早日與之接軌，另一方面，0還是十進位數(shù)｛0，1，2，…，9｝中最小的數(shù)，有了0，減法運算 仍屬于自然數(shù)，其中 ．因此要注意幾下幾點：
（1）自然數(shù)集合與非負整數(shù)集合是相同的集合，也就是說自然數(shù)集包含0；
（2）自然數(shù)集內(nèi)排除0的集，表示成 或 ，其他數(shù)集{如整數(shù)集Z、有理數(shù)集Q、實數(shù)集R}內(nèi)排除0的集，也可類似表示 ， ， ；
（3）原教科書或根據(jù)原教科書編寫的教輔用書中出現(xiàn)的符號如 ， ， …不再適用．
4．關(guān)于集合中的元素的三個特性分析
集合中的每個對象叫做這個集合的元素．例如“中國的直轄市”這一集合的元素是：北京、上海、天津、重慶。
集合中的元素常用小寫的拉丁字母 ，…表示．如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記作 ；否則，就說a不屬于A，記作
要正確認識集合中元素的特性：
（l）確定性： 和 ，二者必居其一．
集合中的元素必須是確定的．這就是說，給定一個集合，任何一個對象是不是這個集合的元素也就確定了．例如，給出集合{地球上的四大洋}，它的元素是：太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋．其他對象都不用于這個集合．如果說“由接近 的數(shù)組成的集合”，這里“接近 的數(shù)”是沒有嚴格標準、比較模糊的概念，它不能構(gòu)成集合．
（2）互異性：若 ， ，則
集合中的元素是互異的．這就是說，集合中的元素是不能重復(fù)的，集合中相同的元素只能算是一個．例如方程 有兩個重根 ，其解集只能記為｛1｝，而不能記為｛1，1｝．
（3）無序性：｛a，b｝和｛b，a｝表示同一個集合．
集合中的元素是不分順序的．集合和點的坐標是不同的概念，在平面直角坐標系中，點（l，0）和點（0，l）表示不同的兩個點，而集合｛1，0｝和｛0，1｝表示同一個集合．
5．要辯證理解集合和元素這兩個概念
（1）集合和元素是兩個不同的概念，符號和是表示元素和集合之間關(guān)系的，不能用來表示集合之間的關(guān)系．例如 的寫法就是錯誤的，而 的寫法就是正確的．
（2）一些對象一旦組成了集合，那么這個集合的元素就是這些對象的全體，而非個別現(xiàn)象．例如對于集合 ，就是指所有不小于0的實數(shù)，而不是指“ 可以在不小于0的實數(shù)范圍內(nèi)取值”，不是指“ 是不小于0的一個實數(shù)或某些實數(shù)，”也不是指“ 是不小于0的任一實數(shù)值”……
（3）集合具有兩方面的意義，即：凡是符合條件的對象都是它的元素；只要是它的元素就必須符合條件．
6．表示集合的方法所依據(jù)的國家標準
本小節(jié)列舉法與描述法所使用的集合的記法，依據(jù)的是新國家標準如下的規(guī)定．
符號
應(yīng)用
意義或讀法
備注及示例
諸元素 構(gòu)成的集
也可用 ，這里的I表示指標集
使命題 為真的A中諸元素之集
例： ，如果從前后關(guān)系來看，集A已很明確，則可使用 來表示，例如
此外， 有時也可寫成 或
7．集合的表示方法分析
集合有三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法．它們各有優(yōu)點．用什么方法來表示集合，要具體問題具體分析．
�。╨）有的集合可以分別用三種方法表示．例如“小于 的自然數(shù)組成的集合”就可以表為：
①列舉法： ；
②描述法： ；
③圖示法：如圖1。
（2）有的集合不宜用列舉法表示．例如“由小于 的正實數(shù)組成的集合”就不宜用列舉法表示，因為不能將這個集合中的元素—一列舉出來，但這個集合可以這樣表示：
①描述法： ；
②圖示法：如圖2．
（3）用描述法表示集合，要特別注意這個集合中的元素是什么，它應(yīng)該符合什么條件，從而準確理解集合的意義．例如：
①集合 中的元素是 ，它表示函數(shù) 中自變量 的取值范圍，即 ；
②集合 中的元素是 ，它表示函數(shù)值。的取值范圍，即 ；
③集合 中的元素是點 ，它表示方程 的解組成的集合，或者理解為表示曲線 上的點組成的集合；
④集合 中的元素只有一個，就是方程 ，它是用列舉法表示的單元素集合．
實際上，這是四個完全不同的集合．
列舉法與描述法各有優(yōu)點，應(yīng)該根據(jù)具體問題確定采用哪種表示法．要注意，一般無限集，不宜采用列舉法，因為不能將無限集中的元素—一列舉出來，而沒有列舉出來的元素往往難以確定．
8．集合的分類
含有有限個元素的集合叫做有限集，如圖1所示．
含有無限個元素的集合叫做無限集，如圖2所示．
9．關(guān)于空集分析
不含任何元素的集合叫做空集，記作 ．空集是個特殊的集合，除了它本身的實際意義外，在研究集合、集合的運算時，必須予以單獨考慮．
教學設(shè)計方案
集合
知識目標：
（1）使學生初步理解集合的概念，知道常用數(shù)集的概念及其記法
�。�2）使學生初步了解“屬于”關(guān)系的意義
�。�3）使學生初步了解有限集、無限集、空集的意義
能力目標：
�。�1）重視基礎(chǔ)知識的教學、基本技能的訓練和能力的培養(yǎng)；
�。�2）啟發(fā)學生能夠發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，善于獨立思考，學會分析問題和創(chuàng)造地解決問題；
�。�3）通過教師指導發(fā)現(xiàn)知識結(jié)論，培養(yǎng)學生抽象概括能力和邏輯思維能力；
德育目標：
激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣和積極性，陶冶學生的情操，培養(yǎng)學生堅忍不拔的意志，實事求是的科學學習態(tài)度和勇于創(chuàng)新的精神。
教學重點：集合的基本概念及表示方法
教學難點：運用集合的兩種常用表示方法——列舉法與描述法，正確表示一些簡單的集合
授課類型：新授課
課時安排：2課時
教 具：多媒體、實物投影儀
教學過程（m.htc668.com）：
一、復(fù)習引入：
1．簡介數(shù)集的發(fā)展，復(fù)習最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)，質(zhì)數(shù)與和數(shù)；
2．教材中的章頭引言；
3．集合論的創(chuàng)始人——康托爾（德國數(shù)學家）；
4．“物以類聚”，“人以群分”；
5．教材中例子（P4）。
二、講解新課：
閱讀教材第一部分，問題如下：
�。�1）有那些概念？是如何定義的？
�。�2）有那些符號？是如何表示的？
�。�3）集合中元素的特性是什么？
（一）集合的有關(guān)概念（例子見書）：
1、集合的概念
�。�1）集合：某些指定的對象集在一起就形成一個集合。
�。�2）元素：集合中每個對象叫做這個集合的元素。
2、常用數(shù)集及記法
（1）非負整數(shù)集（自然數(shù)集）：全體非負整數(shù)的集合。記作N
（2）正整數(shù)集：非負整數(shù)集內(nèi)排除0的集。記作N*或N+
�。�3）整數(shù)集：全體整數(shù)的集合。記作Z
�。�4）有理數(shù)集：全體有理數(shù)的集合。記作Q
�。�5）實數(shù)集：全體實數(shù)的集合。記作R
注：
�。�1）自然數(shù)集與非負整數(shù)集是相同的，也就是說，自然數(shù)集包括數(shù)0。
�。�2）非負整數(shù)集內(nèi)排除0的集。記作N*或N+ 、Q、Z、R等其它數(shù)集內(nèi)排除0的集，也是這樣表示，例如，整數(shù)集內(nèi)排除0的集，表示成Z*
3、元素對于集合的隸屬關(guān)系
�。�1）屬于：如果a是集合A的元素，就說a屬于A，記作a∈A；
（2）不屬于：如果a不是集合A的元素，就說a不屬于A，記作 ．
4、集合中元素的特性
（1）確定性：
按照明確的判斷標準給定一個元素或者在這個集合里，或者不在，不能模棱兩可。
�。�2）互異性：
集合中的元素沒有重復(fù)。
�。�3）無序性：
集合中的元素沒有一定的順序（通常用正常的順序?qū)懗觯?/p>
注：
1、集合通常用大寫的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q……
元素通常用小寫的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q……
2、“∈”的開口方向，不能把a∈A顛倒過來寫。
練習題
1、教材P5練習
2、下列各組對象能確定一個集合嗎？
�。�1）所有很大的實數(shù)。 （不確定）
�。�2）好心的人。 （不確定）
（3）1，2，2，3，4，5．（有重復(fù)）
閱讀教材第二部分，問題如下：
1．集合的表示方法有幾種？分別是如何定義的？
2．有限集、無限集、空集的概念是什么？試各舉一例。
（二）集合的表示方法
1、列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。
例如，由方程 的所有解組成的集合，可以表示為{-1，1}．
注：（1）有些集合亦可如下表示：
從51到100的所有整數(shù)組成的集合：{51，52，53，…，100}
所有正奇數(shù)組成的集合：{1，3，5，7，…}
�。�2）a與{a}不同：a表示一個元素，{a}表示一個集合，該集合只有一個元素。
描述法：用確定的條件表示某些對象是否屬于這個集合，并把這個條件寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。
格式：{x∈A| P（x）}
含義：在集合A中滿足條件P（x）的x的集合。
例如，不等式 的解集可以表示為： 或
所有直角三角形的集合可以表示為：
注：（1）在不致混淆的情況下，可以省去豎線及左邊部分。
如：{直角三角形}；{大于104的實數(shù)}
�。�2）錯誤表示法：{實數(shù)集}；{全體實數(shù)}
3、文氏圖：用一條封閉的曲線的內(nèi)部來表示一個集合的方法。
注：何時用列舉法？何時用描述法？
�。�1） 有些集合的公共屬性不明顯，難以概括，不便用描述法表示，只能用列舉法。
如：集合
（2） 有些集合的元素不能無遺漏地一一列舉出來，或者不便于、不需要一一列舉出來，常用描述法。
如：集合 ；集合{1000以內(nèi)的質(zhì)數(shù)}
注：集合 與集合 是同一個集合嗎？
答：不是。
集合 是點集，集合 = 是數(shù)集。
（三） 有限集與無限集
1、 有限集：含有有限個元素的集合。
2、 無限集：含有無限個元素的集合。
3、 空集：不含任何元素的集合。記作Φ，如：
練習題：
1、P6練習
2、用描述法表示下列集合
�、賩1，4，7，10，13}
�、趝-2，-4，-6，-8，-10}
3、用列舉法表示下列集合
①{x∈N|x是15的約數(shù)} {1，3，5，15}
�、趝（x，y）|x∈{1，2}，y∈{1，2}} {（1，1），（1，2），（2，1）（2，2）}
注：防止把{（1，2）}寫成{1，2}或{x=1，y=2}
�、�
�、� {-1，1}
�、� {（0，8）（2，5），（4，2）}
�、�
{（1，1），（1，2），（1，4）（2，1），（2，2），（2，4），（4，1），（4，2），（4，4）}
三、小 結(jié)：
本節(jié)課學習了以下內(nèi)容：
1．集合的有關(guān)概念：（集合、元素、屬于、不屬于、有限集、無限集、空集）
2．集合的表示方法：（列舉法、描述法、文氏圖共3種）
3．常用數(shù)集的定義及記法
四、課后作業(yè)：教材P7習題1.1
五、板書設(shè)計：
課題
一、知識點
（一）
（二）
例題：
1．
2．
六、課后反思：
本節(jié)課在教學時主要教會學生學習集合的表示方法，在認識集合時，應(yīng)從兩方面入手：
�。�1）元素是什么？
�。�2）確定集合的表示方法是什么？表示集合時，與采用字母名稱無關(guān)。
探究活動
【題目】數(shù)集A滿足條件：若 ，則 （ ）
（1）若 ，試求出A中其他所有元素；
（2）自己設(shè)計一個數(shù)屬于A，然后求出A中其他所有元素；
（3）從上面兩小題的解答過程中，你能悟出什么道理？并大膽證明你發(fā)現(xiàn)的這個“道理”．
【參考答案】
（1）其他所有元素為－1， ．
（2）略
（3）A中只能有3個元素，它們分別是 ， 且三個數(shù)的乘積為－1．
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