一元二次方程根與系數(shù)的關系 —— 初中數(shù)學第四冊教案

一元二次方程根與系數(shù)的關系的知識內容主要是以前一單元中的求根公式為基礎的。教材通過一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根x_1、2= 得出一元二次方程根與系數(shù)的關系，以及以數(shù)x₁、x₂為根的一元二次方程的求方程模型。然后是通過4個例題介紹了利用根與系數(shù)的關系簡化一些計算的知識。例如，求方程中的特定系數(shù)，求含有方程根的一些代數(shù)式的值等問題，由方程的根確定方程的系數(shù)的方法等等。

根與系數(shù)的關系也稱為韋達定理（韋達是法國數(shù)學家）。韋達定理是初中代數(shù)中的一個重要定理。這是因為通過韋達定理的學習，把一元二次方程的研究推向了高級階段，運用韋達定理可以進一步研究數(shù)學中的許多問題，如二次三項式的因式分解，解二元二次方程組；韋達定理對后面函數(shù)的學習研究也是作用非凡。

通過近些年的中考數(shù)學試卷的分析可以得出：韋達定理及其應用是各地市中考數(shù)學命題的熱點之一。出現(xiàn)的題型有選擇題、填空題和解答題，有的將其與三角函數(shù)、幾何、二次函數(shù)等內容綜合起來，形成難度系數(shù)較大的壓軸題。

通過韋達定理的教學，可以培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識、創(chuàng)新精神和綜合分析數(shù)學問題的能力，也為學生今后學習方程理論打下基礎。

（二）重點、難點

一元二次方程根與系數(shù)的關系是重點，讓學生從具體方程的根發(fā)現(xiàn)一元二次方程根與系數(shù)之間的關系，并用語言表述，以及由一個已知方程求作新方程，使新方程的根與已知的方程的根有某種關系，比較抽象，學生真正掌握有一定的難度，是教學的難點。

（三）教學目標

1、知識目標：要求學生在理解的基礎上掌握一元二次方程根與系數(shù)的關系式，能運用根與系數(shù)的關系由已知一元二次方程的一個根求出另一個根與未知數(shù)，會求一元二次方程兩個根的倒數(shù)和與平方數(shù)，兩根之差。

2、能力目標：通過韋達定理的教學過程，使學生經(jīng)歷觀察、實驗、猜想、證明等數(shù)學活動過程，發(fā)展推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點，進一步培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新精神。

3、情感目標：通過情境教學過程，激發(fā)學生的求知欲望，培養(yǎng)學生積極學習數(shù)學的態(tài)度。體驗數(shù)學活動中充滿著探索與創(chuàng)造，體驗數(shù)學活動中的成功感，建立自信心。

二、設計理念

根據(jù)教材內容和本人研究的課題《初中數(shù)學問題引探教學實驗研究》，在教學中滲透新課標的精神，注重過程數(shù)學，注重創(chuàng)新教學，注重問題意識，關注學生的學習興趣和經(jīng)驗，讓學生主動參與學習活動，主動探索并獲取知識，教師是組織者、引導者、參與者。

三、教法與學法

（一）教法

1、充分以學生為主體進行教學，讓學生多實踐，從實踐中反思過程，讓學生經(jīng)歷韋達定理的發(fā)生發(fā)展過程，并從中體驗成功的樂趣。

2、采用“實踐（練習）——觀察——發(fā)現(xiàn)——猜想——證明”的過程教學。引導學生發(fā)現(xiàn)問題，師生共同解決問題。

3、分小組討論交流，多渠道信息反饋。

4、問題引探，啟發(fā)誘導，進行創(chuàng)新教學。

（二）學法指導

1、引導學生實踐、觀察、發(fā)現(xiàn)問題、猜想并推理。

2、指導學生掌握思考問題的方法及解決問題的途徑。

3、指導學生熟練掌握根與系數(shù)的關系，并將應用問題和規(guī)律歸類。

四、課時劃分及教學過程

（一）課時劃分

共分3課時

第一課時

1、根與系數(shù)的關系。

2、根與系數(shù)的關系的應用。

（1）求已知方程的兩根的平方和、倒數(shù)和、兩根差。

第二課時

1、已知兩數(shù)求作新方程。

2、由已知兩根和與積的值或式子，求字母的值。

第三課時

方程判別式、根與系數(shù)的關系的綜合應用。

 

第一課時    一元二次方程根與系數(shù)的關系（1）

 

一、教學目標

1、理解掌握一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的兩根x₁，x₂與系數(shù)a、b、c之間的關系。

2、能根據(jù)根與系數(shù)的關系式和已知一個根的條件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知數(shù)。

3、會求已知方程的兩根的倒數(shù)和與平方和、兩根的差。

4、在推導過程中，培養(yǎng)學生“觀察——發(fā)現(xiàn)——猜想——證明”的研究問題的思想與方法。

二、重難點

根與系數(shù)的關系是重點，由于式子的抽象性，兩根之和等于一次項系數(shù)除以二次項系數(shù)的相反數(shù)中的符號是學生理解和掌握的難點。

三、教學過程

（一）問題引探

問題1.在方程ax²+bx+c=0中，a的取值決定什么？b²-4ac的取值呢？同學們可知道a、b、c的取值與一元二次方程ax²+bx+c=0的根還有其它關系？今天我們進一步研究一元二次方程的這種關系。

問題2.解方程x²-5x+6=0，并先指出a、b、c各是多少，然后再解方程，計算兩根的和與積，你能發(fā)現(xiàn)什么結論（現(xiàn)象）？

問題3.解下列方程：

（1）2x²+5x+3=0                              （2）3x²-2x-2=0

并根據(jù)問題2和以上的求解填寫下表

請觀察上表，你能發(fā)現(xiàn)兩根之和、兩根之積與方程的系數(shù)之間有什么關系嗎？

問題4.請根據(jù)以上的觀察發(fā)現(xiàn)進一步猜想：方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根x₁，x₂與a、b、c之間的關系：____________.

問題5.你能證明上面的猜想嗎？請證明，并用文字語言敘述說明。

分小組討論以上的問題，并作出推理證明。

若方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根為x₁= ，x₂= ,  則

x₁+x₂= + = ;

x₁ x₂= · =  

        =

即：如果ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根是x₁，x₂，那么x₁+x₂=   ，x₁x₂=  。

由此得出一元二次方程的根與系數(shù)的關系；還可以讓學生用自己的語言表述這種關系，來加深理解和記憶。

這個關系是一個法國數(shù)學家韋達發(fā)現(xiàn)的，所以也稱之為韋達定理。

問題6.在方程ax²+bx+c=0（a≠0）中，a、b、c的作用嗎？（引導學生反思性小結）

①二次項系數(shù)a是否為零，決定著方程是否為二次方程；

②當a≠0時，b=0，a、c異號，方程兩根互為相反數(shù)；

③當a≠0時，△=b2-4ac可判定根的情況；

④當a≠0，b²-4ac≥0時，x₁+x₂=    ，x₁x₂=  

⑤當a≠0，c=0時，方程有一根為0。

說明：1、本設計采用“實踐——觀察——發(fā)現(xiàn)——猜想——證明”的過程，使學生既動手又動腦，且又動口，教師引導啟發(fā)，避免注入式地講授一元二次方程根與系數(shù)的關系，體現(xiàn)學生的主體學習特性，培養(yǎng)了學生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新精神。

2、本設計遵循由特殊到一般，從實踐到理論（即從感性認識上升到理性認識）的認知規(guī)律。

3、本設計注重了學生的反思過程，使學生將知識系統(tǒng)化、格式化。

（二）嘗試發(fā)展

試一試：根據(jù)根與系數(shù)的關系寫出下列方程的兩根之和與兩根之積（方程兩根為x₁，x₂、k是常數(shù)）

（1）2x²-3x+1=0      x₁+x₂= ________      x₁x₂= _________            

（2）3x²+5x=0        x₁+x₂= ________      x₁x₂= __________            

（3）5x²+x-2=0       x₁+x₂= _________     x₁x₂= __________           

（4）5x²+kx-6=0      x₁+x₂= _________     x₁x₂= __________            

（此試一試作為鞏固知識而用）

嘗試題1、已知方程6x²+kx-5=0的一個根為，求它的另一個根及k的值。

組織學生自己分析解決，然后一學生演板，其余學生在草稿本上練習。

學生練習：P₃₂ 2。

嘗試題2、利用根與系數(shù)的關系，求一元二次方程2x²-3x-1=0的兩個根的（1）平方和，（2）倒數(shù)和。

討論：解上面問題的思路是什么？

得出：x₁²+ x₂²=( x₁+x₂)²-2 x₁x_{2;    .}(將平方和、倒數(shù)和轉化為兩根和與積的代數(shù)式)

（三）拓展創(chuàng)新

1、在嘗試2中能否求（x₁－x₂）的值？2、已知實數(shù)滿足關系式a²-5a+6=0，b²-5b+6=0，且a≠b，能否求a+b與ab的值？

說明：1、“試一試”是引導學生及時鞏固本節(jié)所學的新知“根與系數(shù)的關系”，其中第（3）小題是培養(yǎng)學生思維嚴謹性和批判性；第（4）小題是起過渡作用設計。

2、嘗試題1、2讓學生討論完成或獨立完成，可以看書完成，其系數(shù)與例題有別。

3、“拓展創(chuàng)新”中是培養(yǎng)學生思維的發(fā)散性教學設計，也是開放性教學，使有的學生的奇異思維得到發(fā)展。

（四）歸納小結本課主要研究了什么？1、方程的根是由系數(shù)決定的。2、a≠0時，方程ax²+bx+c=0是一元二次方程。3、a≠0，且b2-4ac≥0時，方程ax²+bx+c=0的根為x_1、2= 4、b²-4ac的值可判定根的情況。5、a≠0，△≥0時，x₁+x₂= ，x₁x₂=      。6、方程根與系數(shù)關系的有關應用。

（1）已知一根求另一根及k的值；（2）求有關代數(shù)式的值。

（五）布置作業(yè)

P₃₃A 1、2  B  1（1）

練習：１．已知三角形的兩邊長a、b是方程x²-kx+12=0的兩個，等腰三角形的另一條邊c=4,求這個等腰三角形的周長。

2、已知關于x的方程x²－2mx+ m²=0.其中分別是一個等腰三角形的腰和底邊的長.

（1）         求征這個方程有兩個不相等實數(shù)根.

（2）         若方程的兩個實數(shù)根差的絕對值是8，并且等腰三角形的面積是12，求這個三角形的內切圓的面積．

　　　3、 已知二次函數(shù)y=x2+2ax－2b+1和y=－x2+（a—3）x+b2－1的圖象都經(jīng)過x軸上兩個不同的點 ,求這兩個函數(shù)的解析式.

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